Question

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(2;−1;3),B(−1;0;−2),C(1;2;4). Найти значение косинуса угла ∠AMB, AM - медиана треугольника. Ответ записать в виде десятичной дроби, округляя до трех знаков после десятичной запятой.

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(2;−1;3),B(−1;0;−2),C(1;2;4).

Находим координаты точки М как середины ВС.

М = (B(−1;0;−2) + C(1;2;4))/2 = (0; 1; 1).

Определяем векторы:

МА = (2-0; -1-1);3-1) = (2; -2; 2), его модуль равен √(4+4+4) = 2√3.

МВ = (-1-0; 0-1; -2-1) = (-1; -1; -3), его модуль равен √(1+1+9) = √11.

Теперь находим косинус угла между МА и МВ - это и есть угол АМВ.

cos(MA_MB) = (2*(-1) + (-2)*(-1) - 2*(-3))/(2√3*√11) =6/(2√33) = 3/√33 = √33/11.

Ответ: √33/11 ≈ 0,522.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла ∠AMB, где AM - медиана треугольника, мы можем воспользоваться формулой косинуса угла между двумя векторами. Сначала нам нужно найти координаты векторов AM и AB, а затем вычислить косинус угла между ними.

1. Найдем координаты вектора AM: AM = (MAx, MAy, MAz), где M - середина стороны BC.

Сначала найдем координаты середины стороны BC: Mx = (Bx + Cx) / 2 = (-1 + 1) / 2 = 0 / 2 = 0 My = (By + Cy) / 2 = (0 + 2) / 2 = 2 / 2 = 1 Mz = (Bz + Cz) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты точки M равны (0, 1, 1).

Теперь мы можем найти вектор AM: AM = (0 - 2, 1 - (-1), 1 - 3) = (-2, 2, -2)

2. Найдем координаты вектора AB: AB = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) = (-1 - 2, 0 - (-1), -2 - 3) = (-3, 1, -5)

3. Теперь вычислим скалярное произведение векторов AM и AB: AM · AB = (-2 * -3) + (2 * 1) + (-2 * -5) = 6 + 2 + 10 = 18

4. Найдем длину векторов AM и AB: |AM| = √((-2)^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3 |AB| = √((-3)^2 + 1^2 + (-5)^2) = √(9 + 1 + 25) = √35

5. Теперь можно вычислить косинус угла ∠AMB с использованием формулы косинуса угла: cos(∠AMB) = (AM · AB) / (|AM| * |AB|) = 18 / (2√3 * √35) = (18 / (2 * √3 * √35)) = (9 / (√3 * √35))

Теперь вычислим эту дробь: cos(∠AMB) ≈ 0.136 (округляем до трех знаков после десятичной запятой)

Ответ: косинус угла ∠AMB ≈ 0.136.