Question

Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A(−2;−4;5),B(−1;4;2),C(4;2;−3). Найти значение косинуса острого угла между его диагоналями. Ответ записать в виде десятичной дроби, округляя до трёх знаков после десятичной запятой. Поподробнее пожалуйста

Answer 1

найду координаты точки пересечения диагоналей О-это середина АС

координата х : (-2+4)/2=1

y: (-4+2)/2=-1

z: (5+(-3))/2=1

O(1;-1;1)

пусть координаты четвертой вершины параллелограмма D (x;y;z)

тогда О-середина BD

распишу координаты О через B и D

по х:  1=(-1+x)/2; -1+x=2; x=3

y: -1=(4+y)/2; 4+y=-2;y=-6

z: 1=(2+z)/2; 2+z=2;z=0

D(3;-6;0)

Теперь осталось найти cos<AOB в треугольнике АОВ по т косинусов, предварительно посчитав его стороны

AO²=(1-(-2))²+(-1+(-4))²+(1-5)²=9+25+16=50; AO=5√2

AB²=(-1+2)²+(4+4)²+(2-5)²=1+64+9=74; AB=√74

BO²=(1+1)²+(-1-4)²+(1-2)²=4+25+1=30; BO=√30

тогда по т косинусов

AB²=AO²+AB²-2*AO*BO*cos<AOB

74=50+30-2*5√2*√30*cos<AOB

cos<AOB=6/(10√60)≈0.077-почти прямой угол

Answer 2

Чтобы найти косинус острого угла между диагоналями параллелограмма, мы можем использовать координаты вершин и формулу для косинуса угла между векторами.

Давайте обозначим векторы диагоналей параллелограмма. Пусть \(\vec{AC}\) - это вектор, соединяющий вершины A и C, а \(\vec{BD}\) - вектор, соединяющий вершины B и D.

1. Найдем вектор \(\vec{AC}\): \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4 + 2; 2 + 4; -3 - 5) = (6; 6; -8). \]

2. Найдем вектор \(\vec{BD}\): \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (4 - (-1); 2 - 4; (-3) - 2) = (5; -2; -5). \]

Теперь мы можем использовать следующую формулу для косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{\|\vec{AC}\| \cdot \|\vec{BD}\|}. \]

Где \(\vec{AC} \cdot \vec{BD}\) - это скалярное произведение векторов, а \(\|\vec{AC}\|\) и \(\|\vec{BD}\|\) - их длины, которые можно найти по формуле \(\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\).

3. Вычислим скалярное произведение векторов: \[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 6 \cdot 5 + 6 \cdot (-2) + (-8) \cdot (-5) = 30 - 12 + 40 = 58. \]

4. Найдем длины векторов: \[ \|\vec{AC}\| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 36 + 64} = \sqrt{136}, \] \[ \|\vec{BD}\| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 4 + 25} = \sqrt{54}. \]

5. Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{58}{\sqrt{136} \cdot \sqrt{54}}. \]

6. Округлим ответ до трех знаков после десятичной точки: \[ \cos(\theta) \approx \frac{58}{11.662} \approx 4.971. \]

Таким образом, значение косинуса острого угла между диагоналями параллелограмма равно приблизительно 0.424.