Question

Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a-3b и a-4b если IaI=3; IbI=2 угол (a^b)=90

Answer 1

Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных его сторон на синус угла между ними.

Так как угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то их скалярное произведение равно 0:

$\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot\cos 90^\circ=3\cdot2\cdot0=0$

Найдем длины сторон параллелограмма:

$\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2-6\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=3^2+9\cdot2^2-6\cdot0=9+36=45$

$\Rightarrow\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

$\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2+16|\vec{b}|^2-8\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=3^2+16\cdot2^2-8\cdot0=9+64=73$

$\Rightarrow\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|=\sqrt{73}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}-3\vec{b}$ и $\vec{a}-4\vec{b}$:

$(\vec{a}-3\vec{b})(\vec{a}-4\vec{b})=|\vec{a}|^2-3\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)-4\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)+12|\vec{b}|^2=3^2+12\cdot2^2=57$

Запишем скалярное произведение через произведение длин векторов и косинуса угла между ними $\gamma$:

$(\vec{a}-3\vec{b})(\vec{a}-4\vec{b})=|\vec{a}-3\vec{b}|\cdot|\vec{a}-4\vec{b}|\cdot\cos\gamma$

Подставим известные величины:

$3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73} \cdot\cos\gamma=57$

Выразим косинус:

$\cos\gamma=\dfrac{57}{3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73}} =\dfrac{57}{3\sqrt{365}}$

С помощью основного тригонометрического тождества найдем синус:

$\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}$

$\sin\gamma=\sqrt{1-\left(\dfrac{57}{3\sqrt{365}}\right)}= \sqrt{1-\dfrac{3249}{3285}} = \sqrt{\dfrac{36}{3285}} =\dfrac{6}{3\sqrt{365} } =\dfrac{2}{\sqrt{365} }$

Определим искомую площадь параллелограмма:

$S=\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|\cdot\sin\gamma$

$S=3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73} \cdot\dfrac{2}{\sqrt{365} } =6$

Ответ: 6

Answer 2

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах a - 3b и a - 4b, мы можем воспользоваться следующей формулой:

Площадь = |a - 3b| * |a - 4b| * sin(θ),

где |a - 3b| и |a - 4b| - длины векторов a - 3b и a - 4b соответственно, а sin(θ) - синус угла между этими векторами.

Для начала найдем длины векторов:

|a - 3b| = |a| - |3b| = 3 - 3|b| = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3.

|a - 4b| = |a| - |4b| = 3 - 4|b| = 3 - 4(2) = 3 - 8 = -5.

Теперь нам нужно найти синус угла между векторами a - 3b и a - 4b. Поскольку угол между векторами a и b равен 90 градусов, то синус этого угла равен 1.

Итак, мы имеем:

Площадь = |-3| * |-5| * 1 = 3 * 5 = 15.

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах a - 3b и a - 4b, равна 15 квадратным единицам.