Question

Какое наименьшее значение может принимать выражение х2 +4у2 +z2– 2x – 4у –6z – 8?

Answer 1

Ответ:

-19

Объяснение:

х² +4у² +z²– 2x – 4у –6z – 8=

=(х² -2*1*х +1² - 1²) + ((2у)² -2*2у*1 +1²-1²) +

+ (z² -2*z*3 +3² -3²) - 8=

= (x-1)² -1 + (2y-1)² -1 + (z-3)² - 9 - 8=

= (x-1)²+ (2y-1)² + (z-3)² - 19,

так как (x-1)²≥0, (2y-1)²≥0, (z-3)²≥0,

то (x-1)²+ (2y-1)² + (z-3)² - 19 ≥ 0+0+0-19 = -19

следовательно, наименьшее значение функции = -19 (при х-1=0, или х=1 И 2у-1=0, или у=1/2 И z-3=0, или z=3)

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения $x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 8$, можно воспользоваться методом завершения квадрата по переменным $x$, $y$, и $z$.

1. Рассмотрим члены с $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$.

2. Теперь рассмотрим члены с $y$: $4y^2 - 4y = 4(y^2 - y + 1/4) - 1 = 4(y - 1/2)^2 - 1$.

3. И, наконец, рассмотрим члены с $z$: $z^2 - 6z = (z^2 - 6z + 9) - 9 = (z - 3)^2 - 9$.

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$$(x - 1)^2 - 1 + 4(y - 1/2)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 - 8$$

Теперь мы можем записать его как сумму квадратов и числа -17:

$$(x - 1)^2 + 4(y - 1/2)^2 + (z - 3)^2 - 17$$

Наименьшее значение этого выражения достигается, когда все три квадрата равны нулю (так как квадраты не могут быть отрицательными), а число -17 остается без изменений. Таким образом, наименьшее значение равно -17, и оно достигается, когда $x = 1$, $y = 1/2$ и $z = 3$.