Question

Какое наименьшее значение может принимать выражение х2 +4у2 +22 – 2x – 4у – бz – 8?

Answer 1

Ответ:

-19

Объяснение:

х² +4у² +z²– 2x – 4у –6z – 8=

=(х² -2*1*х +1² - 1²) + ((2у)² -2*2у*1 +1²-1²) +

+ (z² -2*z*3 +3² -3²) - 8=

= (x-1)² -1 + (2y-1)² -1 + (z-3)² - 9 - 8=

= (x-1)²+ (2y-1)² + (z-3)² - 19,

так как (x-1)²≥0, (2y-1)²≥0, (z-3)²≥0,

то (x-1)²+ (2y-1)² + (z-3)² - 19 ≥ 0+0+0-19 = -19

следовательно, наименьшее значение функции = -19 (при х-1=0, или х=1 И 2у-1=0, или у=1/2 И z-3=0, или z=3)

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения x^2 + 4y^2 + 22 - 2x - 4y - bz - 8, нужно определить, какие значения x, y и z минимизируют это выражение.

Сначала заметим, что выражение содержит две переменные x и y, а также переменную z. Минимум будет достигнут, когда частные производные по x, y и z равны нулю:

1. По x: ∂/∂x (x^2 + 4y^2 + 22 - 2x - 4y - bz - 8) = 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

2. По y: ∂/∂y (x^2 + 4y^2 + 22 - 2x - 4y - bz - 8) = 8y - 4 = 0 8y = 4 y = 0.5

3. По z: ∂/∂z (x^2 + 4y^2 + 22 - 2x - 4y - bz - 8) = -b = 0 b = 0

Теперь, когда мы нашли значения x, y и z, которые минимизируют выражение, подставим их:

x = 1, y = 0.5, z = 0

Теперь вычислим значение выражения:

1^2 + 4(0.5)^2 + 22 - 2(1) - 4(0.5) - 0 - 8 = 1 + 1 + 22 - 2 - 2 - 8 = 12

Наименьшее значение выражения x^2 + 4y^2 + 22 - 2x - 4y - bz - 8 равно 12, и оно достигается при x = 1, y = 0.5 и z = 0.