Question

Разложите на линейные множители многочлен: x^3-3x^2-4x+12 Помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

(х-3)(х-2)(х+2)

Решение

x³-3x²-4x+12=х²(х-3)-4(х-3)=(х-3)(х²-4)=(х-3)(х-2)(х+2)

Answer 2

Для разложения многочлена $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ на линейные множители, нам нужно найти его корни (корни уравнения $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$), и затем мы можем факторизовать его на множители, используя эти корни.

Сначала попробуем найти один из корней. Для этого мы можем использовать метод проб и ошибок или, например, метод Рациональных корней. Последний предполагает, что корень может быть представлен как отношение двух целых чисел, где числитель является делителем свободного члена (12), а знаменатель - делителем старшего коэффициента (1).

Попробуем некоторые значения:

1. $x = 1$
   $(1)^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 12 = 1 - 3 - 4 + 12 = 6$

2. $x = -1$
   $(-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) + 12 = -1 - 3 + 4 + 12 = 12$

3. $x = 2$
   $(2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$

Таким образом, $x = 2$ - корень уравнения, и мы можем разделить многочлен на $(x - 2)$ с помощью синтетического деления или деления многочленов:

$$\begin{align*} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \div (x - 2) &= x^2 - x - 6 \\ \end{align*}$$

Теперь у нас есть квадратный многочлен $x^2 - x - 6$, который также можно разложить на линейные множители. Давайте найдем корни этого многочлена:

Для многочлена $x^2 - x - 6$ у нас есть:

$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$

Теперь мы можем записать исходный многочлен как произведение линейных множителей:

$$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x - 3)(x + 2)$$

Итак, разложение на линейные множители данного многочлена: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x - 3)(x + 2)$.