Question

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. |x^2(3+4x)^2dx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫x^2(3+4x)^2 dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это выбранные функции, а du и v - их производные. Давайте выберем u и dv:

u = x^2 dv = (3+4x)^2 dx

Теперь найдем их производные:

du = 2x dx v = ∫(3+4x)^2 dx

Давайте найдем v, интегрировав (3+4x)^2 по переменной x. Мы можем использовать метод подстановки для упрощения интеграла:

Пусть t = 3+4x, тогда dt = 4 dx, и dx = dt/4.

Интеграл v теперь выглядит следующим образом:

v = ∫(3+4x)^2 dx = (1/4) ∫t^2 dt = (1/4) * (t^3/3) + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫x^2(3+4x)^2 dx = x^2 * [(1/4) * (t^3/3)] - ∫[(1/4) * (t^3/3)] * (2x dx).

Теперь заменим обратно t на 3+4x и dx на dt/4:

= (x^2/12) * (3+4x)^3 - (1/8) ∫(t^3 * x) dt.

Теперь мы можем выполнить интегрирование ∫(t^3 * x) dt. Интеграл t^3 берется как константа, и мы получаем:

= (x^2/12) * (3+4x)^3 - (1/8) * (x * ∫t^3 dt).

Интегрируем ∫t^3 dt:

= (x^2/12) * (3+4x)^3 - (1/8) * (x * (t^4/4)) + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь у нас есть неопределенный интеграл:

∫x^2(3+4x)^2 dx = (x^2/12) * (3+4x)^3 - (1/32) * x * (3+4x)^4 + C.

Вы можете проверить свой ответ, взяв производную полученной функции и убедившись, что она равна исходной функции |x^2(3+4x)^2|.