Question

Решить дифференциальное уравнение y' + y tgx + 4y²sinx = 0

Answer 1

Ответ:

$y' + ytgx = - 4 {y}^{2} \sin( x )$

уравнение Бернулли

делим на у^2

$\frac{y'}{ {y}^{2} } + \frac{tgx}{y} = - 4 \sin(x)$

замена:

$\frac{1}{y} = z \\ z '= - {y}^{ - 2} \times y' = - \frac{ y'}{y} \\ \frac{ y'}{ {y}^{2} } = - z'$

$- z' + ztgx = - 4 \sin(x) \\ z' - ztgx = 4 \sin(x)$

линейное ДУ, замена:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u$

$u'v + v'u - uvtgx = 4 \sin(x) \\ u'v + u(v' - vtgx) = 4 \sin(x) \\ \\ 1)v' - vtgx = 0 \\ \frac{dv}{dx} = vtgx \\ \int\limits\frac{dv}{v} = \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ ln(v) = - \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } \\ ln(v) = - ln( \cos(x) ) \\ v = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \\ 2)u'v = 4 \sin(x) \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{ \cos(x) } = 4 \sin(x ) \\ \int\limits \: du = \int\limits4 \sin(x) \cos(x) dx \\ u = \int\limits2 \sin(2x) dx = \\ = \int\limits \sin(2x) d(2x) = - \cos(2x) + C\\ \\ z = uv = \frac{1}{ \cos(x) } \times ( C - \cos(2x)) \\ \frac{1}{y} = \frac{C- \cos(2x) }{ \cos(x) } \\ y = \frac{ \cos(x) }{C - \cos(2x) }$

общее решение

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Это нелинейное уравнение, и оно не имеет аналитического решения в виде элементарных функций. Однако мы можем попробовать найти его частное решение.

Для начала, давайте заметим, что данное уравнение не относится к типовым дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Однако оно похоже на уравнение вида Бернулли:

$y' + y \tan(x) + 4y^2 \sin(x) = 0.$

Чтобы свести его к линейному дифференциальному уравнению, мы можем предпринять следующий шаг:

Поделим обе стороны на $y^2$:

$\frac{y'}{y^2} + \frac{\tan(x)}{y} + 4\sin(x) = 0.$

Теперь давайте введем новую переменную, например, $u = \frac{1}{y}$, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{du}{dx} + u\tan(x) + 4\sin(x) = 0.$

Это уже линейное дифференциальное уравнение относительно $u$. Решим его:

$\frac{du}{dx} = -u\tan(x) - 4\sin(x).$

Теперь мы можем разделить переменные, перемещая $u$-связанные члены на одну сторону и $x$-связанные члены на другую сторону:

$\frac{du}{u} = (-\tan(x) - 4\sin(x))dx.$

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\ln|u| = \int (-\tan(x) - 4\sin(x))dx.$

Далее интегрируем правую сторону. Интеграл $\int -\tan(x)dx$ можно легко вычислить:

$\int (-\tan(x) - 4\sin(x))dx = \ln|u| + 4\cos(x) + C,$

где $C$ - константа интегрирования.

Теперь мы можем выразить $u$:

$\ln|u| = 4\cos(x) + C.$

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

$|u| = e^{4\cos(x) + C}.$

Помните, что модуль $|u|$ всегда положителен, поэтому мы можем опустить модуль:

$u = e^{4\cos(x) + C}.$

Теперь вернемся к переменной $y$:

$u = \frac{1}{y}.$

Подставим $u$ обратно:

$\frac{1}{y} = e^{4\cos(x) + C}.$

Избавимся от знаменателя, инвертируя обе стороны:

$y = \frac{1}{e^{4\cos(x) + C}}.$

Теперь это частное решение данного дифференциального уравнения. Заметьте, что здесь есть произвольная постоянная $C$, так что решение представляет собой семейство кривых, параметризованных $C$.