Question

Решите уравнение 2 sin2 x + 1,5 sin 2x − 3 cos2 x = 1

Answer 1

Ответ:

$2 { \sin }^{2}( x) + 1.5 \sin(2x) - 3 { \cos }^{2}( x )= 1\\ 2 { \sin}^{2} (x) + 3 \sin(x) \cos(x) - 3 { \cos}^{2} (x) = { \sin }^{2} (x) + { \cos}^{2} (x) \\ { \sin}^{2} (x) + 3 \sin(x) \cos(x) - 4 { \cos}^{2} (x) = 0$

разделим на cos^2x, не равный 0.

${tg}^{2} x + 3tgx - 4 = 0 \\ \\ tgx = t \\ \\ {t}^{2} + 3 t - 4 = 0 \\ d = 9 + 16 = 25 \\ t1 = \frac{ - 3 + 5}{2} = 1 \\ t2 = - 4 \\ \\ tgx = 1 \\ x1 = \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ \\ tgx = - 4 \\ x2 = - arctg(4) + \pi \: n$

n принадлежит Z.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение пошагово.

У нас есть уравнение:

2sin^2(x) + 1.5sin(2x) - 3cos^2(x) = 1

Для начала, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы заменить sin(2x) и cos^2(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Подставим эти выражения в уравнение:

2sin^2(x) + 1.5(2sin(x)cos(x)) - 3(1 - sin^2(x)) = 1

Теперь раскроем скобки и упростим:

2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 3 + 3sin^2(x) = 1

Теперь объединим подобные члены:

5sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 3 = 1

Переносим все члены на одну сторону:

5sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте обозначим sin(x) как t и решим это уравнение относительно t:

5t^2 + 3tc - 4 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида at^2 + bt + c = 0:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 5, b = 3c = -4. Подставим значения:

t = (-3 ± √(3^2 - 4 * 5 * (-4))) / (2 * 5)

t = (-3 ± √(9 + 80)) / 10

t = (-3 ± √89) / 10

Таким образом, у нас есть два возможных значения sin(x):

1. t1 = (-3 + √89) / 10
2. t2 = (-3 - √89) / 10

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. Например, для первого значения t1:

sin(x) = (-3 + √89) / 10

x = arcsin((-3 + √89) / 10)

И аналогично для второго значения t2:

sin(x) = (-3 - √89) / 10

x = arcsin((-3 - √89) / 10)

Теперь у нас есть два набора значений x, которые удовлетворяют исходному уравнению.