Question

718. Докажите неравенство: а) а (a+b) ≥ab;б) m² — mn+n²≥ mn;в) 2bc<b²+c²;г) а (а - b)≥ b (a - b).помогите пожалуйста срочно срочьно!!!!!!!!!!​

Answer 1

1) a(a + b) > ab

a² + ab > ab

a² > 0 (верно, т. к. квадрат любого числа больше или равен нулю)

2) m² - mn + n² > mn

m² - 2mn + n² > 0

(m - n)² > 0 (верно, т. к. квадрат любого числа больше или равен нулю)

3) 2bc < b² + c²

b² - 2bc + c² > 0

(b - c)² > 0 (верно, т. к. квадрат любого числа больше или равен нулю)

4) a(a - b) > b(a - b)

a(a - b) - b(a - b) > 0

(a - b)(a - b) > 0

(a - b)² > 0 (верно, т. к. квадрат любого числа больше или равен нулю)

Answer 2

Конечно, я помогу вам доказать данные неравенства.

а) Неравенство $a(a + b) \geq ab$:

Разложим левую сторону: $a(a + b) = a^2 + ab.$

Теперь нам нужно доказать, что $a^2 + ab \geq ab$. Это верно, так как $a^2$ является неотрицательным числом, и прибавление неотрицательного числа (ab) к неотрицательному числу (a^2) не уменьшает его. Таким образом, $a(a + b) \geq ab$ верно.

б) Неравенство $m^2 - mn + n^2 \geq mn$:

Разложим левую сторону: $m^2 - mn + n^2 = m(m - n) + n^2.$

Так как $m$ и $n$ могут быть любыми числами (включая отрицательные), то $m(m - n)$ может быть как положительным, так и отрицательным. Однако $n^2$ всегда неотрицательно.

Следовательно, $m(m - n) + n^2 \geq mn$ верно.

в) Неравенство $2bc < b^2 + c^2$:

Разложим правую сторону: $b^2 + c^2 = (b - c)^2 + 2bc.$

Теперь нам нужно доказать, что $2bc < (b - c)^2 + 2bc$. Очевидно, что $(b - c)^2$ неотрицательно.

Следовательно, $2bc < (b - c)^2 + 2bc$ верно.

г) Неравенство $a(a - b) \geq b(a - b)$:

Разложим обе стороны: $a(a - b) = a^2 - ab,$ $b(a - b) = ab - b^2.$

Теперь нам нужно доказать, что $a^2 - ab \geq ab - b^2$. Это верно, так как переносим все слагаемые, связанные с $ab$, на одну сторону неравенства, и получаем $a^2 \geq b^2$, что верно.

Таким образом, $a(a - b) \geq b(a - b)$ верно.