Question

Существует ли номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки а радиуса 0,1, если: Xn=(n/n+1), a=0; Xn=(n/n+1), a=1​

Answer 1

Почитай может что-то найдёшь.Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|xn - a| < ε. (6.1)

Записывают это следующим образом: или xn→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a - ε < xn < a + ε которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Пояснення:надеюсь что-то понятно

Answer 2

Для определения, существует ли номер, начиная с которого все члены последовательности Xn попадают в окрестность точки а радиуса 0,1, нужно анализировать сходимость этой последовательности.

Последовательность Xn определена следующим образом:

• Если a = 0, то Xn = n / (n + 1).
• Если a = 1, то Xn = n / (n + 1).

Давайте рассмотрим оба случая:

1. Если a = 0: Xn = n / (n + 1)

   Для определения, сходится ли эта последовательность к a = 0, нужно рассмотреть предел: lim (n -> ∞) Xn = lim (n -> ∞) (n / (n + 1)) = 1

   Поскольку предел равен 1, последовательность Xn при a = 0 не сходится к 0, и нет такого номера, начиная с которого все члены попадают в окрестность точки а радиуса 0,1.

2. Если a = 1: Xn = n / (n + 1)

   Снова рассмотрим предел: lim (n -> ∞) Xn = lim (n -> ∞) (n / (n + 1)) = 1

   По аналогии с предыдущим случаем, предел равен 1. Таким образом, и в этом случае нет такого номера, начиная с которого все члены попадают в окрестность точки а радиуса 0,1.

В обоих случаях последовательность Xn не сходится к значению a в пределе, поэтому нет такого номера, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки а радиуса 0,1.