Question

Помогите решить дифф.уравнение sqrt(3+y^2)dx+ydy=x^2ydy​​ с объяснением. Пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

(3+y²)dx+ydy = x²ydy = x = dxy⁴.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала выразим dy/dx и попробуем разделить переменные:

sqrt(3 + y^2) dx + y dy = x^2 y dy

Вычитаем x^2y dy из обеих сторон:

sqrt(3 + y^2) dx = (x^2y - y) dy

Теперь делим обе стороны на sqrt(3 + y^2) и на (x^2y - y):

(dx) / sqrt(3 + y^2) = (x^2y - y) / sqrt(3 + y^2) dy

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Сначала левую сторону:

∫(dx) / sqrt(3 + y^2) = ∫(x^2y - y) / sqrt(3 + y^2) dy

Для интегрирования левой стороны давайте сделаем замену переменных. Положим:

u = 3 + y^2

Тогда du = 2y dy и y dy = (1/2) du. Заменяем переменные:

∫(dx) / sqrt(u) = ∫(x^2y - y) / sqrt(u) * (1/2) du

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

∫(dx) / sqrt(u) = (1/2) ∫(x^2y - y) / sqrt(u) du

Левая сторона интеграла:

∫(dx) / sqrt(u) = ∫(1/√u) du = 2√u + C1

Правая сторона интеграла:

(1/2) ∫(x^2y - y) / sqrt(u) du = (1/2) ∫(x^2 - 1) du = (1/2) * (x^2u - u) + C2

Теперь мы можем объединить выражения и учитывать константы интегрирования:

2√u + C1 = (1/2) * (x^2u - u) + C2

Теперь подставим обратно u = 3 + y^2:

2√(3 + y^2) + C1 = (1/2) * (x^2(3 + y^2) - (3 + y^2)) + C2

Теперь можем упростить и собрать все константы в одну:

2√(3 + y^2) - (1/2)(3 + y^2) = (1/2)x^2(3 + y^2) + (C2 - C1)

Полученное уравнение выглядит сложно, но это общее решение данного дифференциального уравнения. Если у вас есть начальные условия, то вы можете использовать их для нахождения конкретных значений констант C1 и C2.