Question

При каких а корни уравнения x^2-6ax+9a^2-2a+2=0 больше 3?

Answer 1

Чтобы найти значения параметра \( a \), при которых корни уравнения \( x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 \) больше 3, давайте воспользуемся квадратным уравнением. Общая форма квадратного уравнения:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

В данном случае у нас \( a = 1 \), \( b = -6a \), и \( c = 9a^2 - 2a + 2 \). Корни квадратного уравнения можно найти с использованием формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Значения корней зависят от дискриминанта \( \Delta = b^2 - 4ac \). Если \( \Delta > 0 \), то уравнение имеет два различных корня. Если \( \Delta = 0 \), то уравнение имеет один корень (корень кратности 2). Если \( \Delta < 0 \), то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае нам нужно, чтобы корни были больше 3. Это означает, что оба корня должны быть больше 3. Поскольку у нас есть два корня, давайте сначала рассмотрим условие, при котором оба корня больше 3.

Условие для того, чтобы оба корня \( x_1 \) и \( x_2 \) были больше 3:

\[ x_1 > 3 \quad \text{и} \quad x_2 > 3 \]

Теперь мы знаем, что \( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \) и \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \). Мы также хотим, чтобы оба корня были больше 3, поэтому:

\[ \frac{-b}{a} > 3 \quad \text{и} \quad \frac{c}{a} > 3 \]

Подставим значения \( b \) и \( c \) из уравнения:

\[ \frac{6a}{a} > 3 \quad \text{и} \quad \frac{9a^2 - 2a + 2}{a} > 3 \]

Сокращаем выражения:

\[ 6 > 3 \quad \text{и} \quad 9a^2 - 2a + 2 > 3 \]

Первое неравенство всегда верно, поэтому нас интересует второе неравенство:

\[ 9a^2 - 2a + 2 > 3 \]

Вычитаем 3 с обеих сторон:

\[ 9a^2 - 2a - 1 > 0 \]

Теперь решим это неравенство. Мы можем использовать метод интервалов или метод знаков, чтобы определить интервалы, где неравенство выполняется.

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( 9a^2 - 2a - 1 = 0 \) (дискриминант должен быть больше или равен нулю):

\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 4 + 36 = 40 \]

\[ a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{18} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9} \]

Теперь у нас есть два корня \( a_1 \) и \( a_2 \):

\[ a_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{9} \approx 0.377 \]

\[ a_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{9} \approx -0.111 \]

Теперь, чтобы найти интервалы, где неравенство \( 9a^2 - 2a - 1 > 0 \) выполняется, используем метод знаков. Определим знак выражения на каждом интервале между корнями:

1. \( a < \frac{1 - \sqrt{10}}{9} \) - выбираем точку \( a = -1 \):

\[ 9(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 6 > 0 \]

2. \( \frac{1 - \sqrt{10}}{9} < a < \frac{1 + \sqrt{10}}{9} \) - выбираем точку \( a = 0 \):

\[ 9(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \]

3. \( a > \frac{1 + \sqrt{10}}{9} \) - выбираем точку \( a = 1 \):

\[ 9(1)^2 - 2(1) - 1 = 6 > 0 \]

Таким образом, неравенство \( 9a^2 - 2a - 1 > 0 \) выполняется при \( a < \frac{1 - \sqrt{10}}{9} \) и \( a > \frac{1 + \sqrt{10}}{9} \).

Таким образом, значения параметра \( a \), при которых корни уравнения \( x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2 = 0 \) больше 3, - это \( a < \frac{1 - \sqrt{10}}{9} \) и \( a > \frac{1 + \sqrt{10}}{9} \).