Question

При яких значеннях x числа x + 1, x − 1 і 3x + 1 є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Answer 1

--------------------------

Answer 2

Для того щоб числа x + 1, x - 1 і 3x + 1 були послідовними членами геометричної прогресії, потрібно, щоб вони відповідали визначенню геометричної прогресії. Геометрична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожний наступний член множиться на певне число, яке називається знаменником.

Давайте визначимо цей знаменник. Нехай перший член послідовності - це a, другий член - це ar (де r - знаменник), а третій член - це ar^2.

За умовою задачі:

1. Перший член: x + 1 = a
2. Другий член: x - 1 = ar
3. Третій член: 3x + 1 = ar^2

Тепер ми маємо систему з трьох рівнянь. Ми можемо використовувати її для визначення знаменника r. Подивимося на співвідношення між другим і першим членами:

(x - 1) / (x + 1) = ar / a

Спростимо це:

(x - 1) / (x + 1) = r

Тепер ми знаємо значення r. Тепер можемо використовувати його для визначення третього члена:

3x + 1 = ar^2 = (x - 1)r^2

Підставимо значення r, яке ми визначили раніше:

3x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2

Розкриємо квадрат праворуч:

3x + 1 = x^2 - 2x + 1

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння:

x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 = 0

x^2 - 5x = 0

x(x - 5) = 0

З цього рівняння ми маємо два можливих значення x:

1. x = 0
2. x = 5

Отже, числа x + 1, x - 1 і 3x + 1 є послідовними членами геометричної прогресії при x = 0 та x = 5.