Question

Найти производную f(x)=ln (5-x^2/5+x^2), вычислить f'(x)

Answer 1

Ответ:

$f(x) = ln( \frac{5 - {x}^{2} }{5 + {x}^{2} } )$

$f'(x) = \frac{1}{ \frac{5 - {x}^{2} }{5 + {x}^{2} } } \times ( \frac{5 - {x}^{2} }{5 + {x}^{2} } )' = \\ = \frac{5 + {x}^{2} }{5 - {x}^{2} } \times \frac{(5 - {x}^{2}) '\times (5 + {x}^{2} ) - (5 + {x}^{2} )' \times (5 - {x}^{2} )}{ {(5 + {x}^{2} )}^{2} } = \\ = \frac{5 + {x}^{2} }{5 - {x}^{2} } \times \frac{ - 2x(5 + {x}^{2}) - 2x(5 - {x}^{2} )}{ {(5 + {x}^{2}) }^{2} } = \\ = \frac{ - 10x - 2 {x}^{3} - 10x + 2 {x}^{3} }{(5 - {x}^{2} )(5 + {x}^{2} )} = \\ = - \frac{20x}{25 - {x}^{4} }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = \ln\left(\frac{5-x^2}{5+x^2}\right)$, вам потребуется использовать правило дифференцирования композиции функций (цепное правило) и правило дифференцирования логарифмической функции. Давайте начнем:

1. Рассмотрим функцию внутри логарифма: $u(x) = \frac{5-x^2}{5+x^2}$.

2. Теперь найдем производную этой функции $u(x)$ по $x$. Для этого воспользуемся правилом для деления функций: $u'(x) = \frac{(5+x^2)(-2x) - (5-x^2)(2x)}{(5+x^2)^2}.$

3. Упростим числитель: $u'(x) = \frac{-10x^3}{(5+x^2)^2}.$

4. Теперь используем правило дифференцирования логарифмической функции: $f'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x).$

5. Подставляем значение $u'(x)$ из шага 3: $f'(x) = \frac{1}{\frac{5-x^2}{5+x^2}} \cdot \frac{-10x^3}{(5+x^2)^2}.$

6. Упростим дробь в числителе: $f'(x) = -\frac{10x^3}{(5-x^2)(5+x^2)}.$

Таким образом, производная функции $f(x) = \ln\left(\frac{5-x^2}{5+x^2}\right)$ равна:

$f'(x) = -\frac{10x^3}{(5-x^2)(5+x^2)}.$