Question

Докажите что значение выражения 8n^6+11n^4-n^2 при любом целом n делится на 9​

Answer 1

Ответ:

Не хотел делать , но спамеры заставили

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $8n^6 + 11n^4 - n^2$ делится на 9 при любом целом $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для $n = 1$, выражение принимает следующий вид: $8(1)^6 + 11(1)^4 - (1)^2 = 8 + 11 - 1 = 18.$ 18 делится на 9 без остатка, так что базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение $8n^6 + 11n^4 - n^2$ делится на 9 при некотором целом $n = k$, то есть: $8k^6 + 11k^4 - k^2 = 9m,$ где $m$ - целое число.

Шаг 3: Индукционный переход Теперь докажем, что если предположение индукции верно для $n = k$, то оно также верно для $n = k + 1$. Для этого рассмотрим следующее: \begin{align*} 8(k+1)^6 + 11(k+1)^4 - (k+1)^2 &= 8(k^6 + 6k^5 + 15k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 6k + 1)\ &+ 11(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) - (k^2 + 2k + 1)\ &= (8k^6 + 11k^4 - k^2) + 8(6k^5 + 15k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 6k)\ &+ 11(4k^3 + 6k^2 + 4k) + 8 + 11 - 1\ &= (8k^6 + 11k^4 - k^2) + 9(8k^5 + 22k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 10k)\ &= 9(8k^6 + 11k^4 - k^2 + 8k^5 + 22k^4 + 20k^3 + 15k^2 + 10k). \end{align*}

Мы видим, что $8(k+1)^6 + 11(k+1)^4 - (k+1)^2$ представляется как произведение числа 9 на целое выражение. Это означает, что при $n = k + 1$ выражение также делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что если выражение $8n^6 + 11n^4 - n^2$ делится на 9 при $n = k$, то оно также делится на 9 при $n = k + 1$. Исходя из базового случая и индукционного перехода, мы можем заключить, что данное выражение делится на 9 при любом целом $n$.