Question

Доведіть, що не існує таких чисел х та у, для яких виконувалася б рівність x ⁴+ у⁴ — 4x² - 2у² + 9=0 допоможiть будь ласка

Answer 1

Решил производную для Х и Y. Вторую проиводную я уже не вытяну

Answer 2

Для доведення, що рівність x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 = 0 не має розв'язків, давайте розглянемо її виразно:

x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 = 0

Проведемо деякі перетворення, щоб спростити вираз:

x⁴ - 4x² + y⁴ - 2y² + 9 = 0

Тепер розділимо цей вираз на два окремих вирази, один для x і один для y:

(x⁴ - 4x²) + (y⁴ - 2y²) + 9 = 0

Тепер ми можемо розглянути кожний з цих виразів окремо:

1. Розглянемо вираз для x:

x⁴ - 4x²

Ми можемо використовувати підстановку, щоб спростити цей вираз. Позначимо x² як z:

z² = x²

Тоді x⁴ = z⁴. Тепер ми можемо переписати вираз для x:

z⁴ - 4z²

Тепер ми можемо провести ще одну підстановку, позначивши z² як w:

w = z²

Тоді z⁴ = w². Замінюючи це виразом для x, отримаємо:

w² - 4w

Тепер ми маємо вираз для x, який ми можемо розв'язати:

w² - 4w = 0

(w - 4)(w + 0) = 0

Отже, ми маємо два можливих значення для w: w = 4 та w = 0. Але з огляду на те, що w = z², і ми шукаємо реальні значення для x, то w не може дорівнювати 0 (бо з заміни видно, що це означає, що x² = 0, а це неможливо для реальних чисел).

Отже, ми маємо тільки одне можливе значення для w, а саме w = 4. Це означає, що:

z² = 4

Звідси ми отримуємо два можливих значення для z: z = 2 і z = -2. Оскільки ми шукаємо реальні значення для x, ми вибираємо z = 2 і z = -2.

Тепер переходимо до виразу для y:

2. Розглянемо вираз для y:

y⁴ - 2y²

Ми також можемо використовувати підстановку тут, але у цьому випадку це не має значення, оскільки ми шукаємо значення для y.

Отже, ми отримали два можливих значення для x і жодного обмеження для y:

x = 2, y - будь-яке дійсне число або x = -2, y - будь-яке дійсне число

Це означає, що рівність x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 = 0 має розв'язки для будь-якого значення y і двох можливих значень для x: x = 2 і x = -2.

Таким чином, рівність має розв'язки, і вона не може бути доведена до неможливості.