Question

Доведіть, що не існує таких чисел х та у, для яких виконувалася б рівність x ⁴+ у⁴ — 4x² - 2у² + 9=0допоможiть будь ласкаДокажите, что не существует таких чисел х и у, для которых выполнялась бы равенствоx ⁴ + у⁴ - 4x² - 2у² + 9 = 0помогите пожалуйстаProve that there are no numbers x and y for which the equalityx ⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 = 0help me please​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x ⁴ + у⁴ - 4x² - 2у² + 9 = 0

(x⁴ - 4x² + 4) + (y⁴ - 2y² + 1) + 4 = 0

(x² - 2)² + (y - 1)² = - 4

квадрат любого числа есть неотрицательное число

сумма неотрицательных чисел не может быть

отрицательным числом

значит, не существует таких чисел х и у,

для которых выполнялась бы равенство

x ⁴ + у⁴ - 4x² - 2у² + 9 = 0

доказано

Answer 2

Давайте докажемо це спростивши рівність та застосувавши аналіз до лівої сторони:

x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 = 0

Давайте спростимо це:

x⁴ - 4x² + y⁴ - 2y² + 9 = 0

Тепер ми помітимо, що перші два додання x⁴ - 4x² можна розглядати як квадратичну функцію від x²:

x⁴ - 4x² = (x²)² - 4(x²)

Ми можемо використовувати біном Ньютона для розкладу квадратічних додань:

(x²)² - 4(x²) = (x² - 2)² - 4

Тепер наша рівність виглядає так:

(x² - 2)² + (y⁴ - 2y² + 9) = 0

Звернімо увагу на доданок (y⁴ - 2y² + 9). Ми можемо подивитися на цей доданок як на квадратичну функцію від y²:

y⁴ - 2y² + 9 = (y²)² - 2(y²) + 9

Знову використовуємо біном Ньютона для розкладу квадратичних додань:

(y²)² - 2(y²) + 9 = (y² - 1)² + 8

Тепер наша рівність виглядає так:

(x² - 2)² + (y² - 1)² + 8 = 0

Ми можемо бачити, що обидва доданки, які дорівнюють квадратам, не можуть бути від'ємними, так як квадрат буде завжди не менше нуля. Отже, обидва доданки виразу (x² - 2)² та (y² - 1)² завжди більше або рівні нулю.

Отже, ми маємо:

(x² - 2)² + (y² - 1)² + 8 ≥ 0

Оскільки вираз зліва завжди більше або рівний нулю, ми бачимо, що рівність x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 не може бути виконана для жодних дійсних чисел x і y.