Question

Доведіть, що не існує таких чисел х та у, для яких виконувалася б рівність x ⁴+ у⁴ — 4x² - 2у² + 9=0допоможiть будь ласкаДокажите, что не существует таких чисел х и у, для которых выполнялась бы равенствоx ⁴ + у⁴ - 4x² - 2у² + 9 = 0помогите пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Докажите, что не существует таких чисел х и у, для которых выполнялась бы равенство

x ⁴ + у⁴ - 4x² - 2у² + 9 = 0

(x⁴ - 4x² + 4) + (y⁴ - 2y² + 1) + 4 = 0

(x² - 2)² + (y - 1)² = - 4

квадрат любого числа есть неотрицательное число

сумма неотрицательных чисел не может быть

отрицательным числом

значит, не существует таких чисел х и у,

для которых выполнялась бы равенство

x ⁴ + у⁴ - 4x² - 2у² + 9 = 0

доказано

Answer 2

Давайте попробуем доказать, что данное уравнение не имеет решений для действительных чисел x и y. Мы можем воспользоваться методом анализа на минимум и максимум.

Рассмотрим функцию f(x, y) = x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 и попробуем найти минимальное значение этой функции.

Для этого найдем частные производные функции f по переменным x и y и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки:

∂f/∂x = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2) = 0 ∂f/∂y = 4y³ - 4y = 4y(y² - 1) = 0

Из первого уравнения получаем два варианта:

1. x = 0
2. x² - 2 = 0, что означает x = ±√2

Из второго уравнения также получаем два варианта:

1. y = 0
2. y² - 1 = 0, что означает y = ±1

Теперь найдем значения функции f в этих критических точках:

1. f(0, 0) = 0⁴ + 0⁴ - 4(0)² - 2(0)² + 9 = 0 + 0 - 0 - 0 + 9 = 9
2. f(√2, 0) = (√2)⁴ + 0⁴ - 4(√2)² - 2(0)² + 9 = 2 - 8 - 0 + 9 = 3
3. f(-√2, 0) = (-√2)⁴ + 0⁴ - 4(-√2)² - 2(0)² + 9 = 2 - 8 - 0 + 9 = 3
4. f(0, 1) = 0⁴ + 1⁴ - 4(0)² - 2(1)² + 9 = 1 - 0 - 2 + 9 = 8
5. f(0, -1) = 0⁴ + (-1)⁴ - 4(0)² - 2(-1)² + 9 = 1 - 0 - 2 + 9 = 8

Таким образом, минимальное значение функции f равно 3, которое достигается в точках (±√2, 0), и 8, которое достигается в точках (0, ±1). Однако, исходное уравнение гласит, что f(x, y) = 0. Из этого следует, что данное уравнение не имеет действительных корней, так как минимальное значение функции f не равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что не существует таких действительных чисел x и y, для которых выполняется уравнение x⁴ + y⁴ - 4x² - 2y² + 9 = 0.