Question

Решите уравнения (x+2)^2(x-5)^3=(x-5)(x+2)^4 и (2x+1)^3(2x-3)^5=(2x+1)^5(2x-3)^3

Answer 1

Ответ:

$1.\\(x+2)^{2}*(x-5)^{3} = (x-5)(x+2)^{4}\\(x+2)^{2}*(x-5)^{3}- (x-5)(x+2)^{4} = 0\\(x+2)^{2}*(x-5)^{3}*((x-5)^{2}-(x+2)^{2}) = 0\\(x+2)^{2} = 0; x = -2\\x - 5 = 0; x = 5\\(x-5)^{2}-(x+2)^{2} = 0; x = \frac{3}{2} \\\\Answer: x_{1} = -2, x_{2} = 5, x_{3} = \frac{3}{2}$

$2.\\(2x+1)^{3}*(2x - 3)^{5} = (2x+1)^{5}*(2x-3)^{3}\\(2x+1)^{3}*(2x - 3)^{5} - (2x+1)^{5}*(2x-3)^{3} = 0\\(2x+1)^{3}*(2x - 3)^{3} * ((2x-3)^{2}*(2x+1)^{2}) = 0\\(2x+1)^{3} = 0; x = -\frac{1}{2}\\(2x-3)^{3} = 0; x = \frac{3}{2}\\(2x-3)^{2}-(2x+1)^{2} = 0; x = \frac{1}{2}\\\\Answer: x_{1} = -\frac{1}{2}, x_{2} = \frac{1}{2}, x_{3} = \frac{3}{2}$

Answer 2

Давайте решим первое уравнение:

$(x+2)^2(x-5)^3 = (x-5)(x+2)^4$

Сначала упростим уравнение, разделив обе стороны на $(x-5)$:

$(x+2)^2(x-5)^2 = (x+2)^4$

Затем давайте подставим $y = (x+2)^2$:

$y(x-5)^2 = y^2$

Теперь можно сократить $y$ с обеих сторон:

$(x-5)^2 = y$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$(x-5)^2 = (x+2)^2$

Далее раскроем квадраты:

$x^2 - 10x + 25 = x^2 + 4x + 4$

Теперь выразим одну сторону через другую, вычитая $x^2$ и вычитая $4x$:

$-10x + 25 = 4x + 4$

Теперь добавим $10x$ и вычтем 4 с обеих сторон:

$25 - 4 = 4x + 10x$

$21 = 14x$

Теперь разделим обе стороны на 14:

$x = \frac{21}{14}$

Упростим дробь:

$x = \frac{3}{2}$

Таким образом, решение первого уравнения - $x = \frac{3}{2}$.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

$(2x+1)^3(2x-3)^5 = (2x+1)^5(2x-3)^3$

Обратите внимание, что оба множителя с одинаковыми основаниями $(2x+1)$ и $(2x-3)$ возводятся в разные степени, но они могут быть сокращены с обеих сторон. Для этого предположим, что $2x+1$ и $2x-3$ не равны нулю (иначе у нас будут нулевые делители).

Теперь давайте поделим обе стороны на $(2x+1)^3(2x-3)^3$ (так как мы можем сократить с обеих сторон):

$\frac{(2x+1)^3(2x-3)^5}{(2x+1)^3(2x-3)^3} = \frac{(2x+1)^5(2x-3)^3}{(2x+1)^3(2x-3)^3}$

Сокращаем одинаковые множители:

$\frac{2x-3}{2x-3} = (2x+1)^2$

Теперь у нас есть уравнение, в котором можно сократить $(2x-3)$ с обеих сторон:

$1 = (2x+1)^2$

Теперь извлечем квадратный корень с обеих сторон:

$\sqrt{1} = \sqrt{(2x+1)^2}$

$1 = |2x+1|$

Теперь рассмотрим два возможных случая для значения $2x+1$:

1. $2x+1 = 1$

Решение этого уравнения:

$2x = 0$

$x = 0$

2. $2x+1 = -1$

Решение этого уравнения:

$2x = -2$

$x = -1$ 0 0