Question

Вычислить значение производной в заданных точках: а.)f(x)=2x+1/3x+1,x=4 б.)f(x)=корень2x^2+кореньx+2-корень2x,x=-1

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ f(x)=\dfrac{2x+1}{3x+1}\ \ ,\ \ x_0=4\\\\f'(x)=\dfrac{2(3x+1)-3(2x+1)}{(3x+1)^2}=\dfrac{-1}{(3x+1)^2}=-\dfrac{1}{(3\cdot 4+1)^2}=-\dfrac{1}{169}$

$b)\ \ f(x)=\sqrt{2x^2}+\sqrt{x+2}-\sqrt{2x}\ \ ,\ \ ODZ:\ x\geq 0\\\\\\f'(x)=\dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}-\dfrac{2}{2\sqrt{2x}}=\dfrac{x}{x\sqrt2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}=\\\\\\=\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\ \ \ ,\ \ \ ODZ:\ x>0$

Подставить х= -1 невозможно, так как х= -1 не входит в ОДЗ производной .

Answer 2

Давайте начнем с вычисления производных для данных функций в заданных точках:

а.) f(x) = (2x + 1) / (3x + 1), x = 4

Для вычисления производной данной функции в точке x = 4, используем правило дифференцирования частного:

f'(x) = [ (3x + 1) * (2) - (2x + 1) * (3) ] / (3x + 1)^2

Теперь подставим x = 4:

f'(4) = [ (3 * 4 + 1) * (2) - (2 * 4 + 1) * (3) ] / (3 * 4 + 1)^2 f'(4) = [ (12 + 1) * 2 - (8 + 1) * 3 ] / (12 + 1)^2 f'(4) = [ 26 * 2 - 27 * 3 ] / 13^2 f'(4) = [ 52 - 81 ] / 169 f'(4) = -29 / 169

Итак, значение производной функции f(x) в точке x = 4 равно -29/169.

б.) f(x) = √(2x^2 + √x + 2) - √(2x), x = -1

Для вычисления производной данной функции в точке x = -1, используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

f'(x) = [√(2x^2 + √x + 2)]' - [√(2x)]'

Теперь вычислим производные каждого из слагаемых:

1. Для первого слагаемого, используем правило дифференцирования корня:

[√(2x^2 + √x + 2)]' = (1/2) * (2x^2 + √x + 2)^(-1/2) * (4x + 1/2)

Теперь подставим x = -1:

[√(2 * (-1)^2 + √(-1) + 2)]' = (1/2) * (2 * 1 + √(-1) + 2)^(-1/2) * (4 * (-1) + 1/2) [√(2 + i + 2)]' = (1/2) * (4 + i)^(-1/2) * (-4 + 1/2)

2. Для второго слагаемого, используем правило дифференцирования корня:

[√(2x)]' = (1/2) * (2x)^(-1/2) * 2

Теперь подставим x = -1:

[√(2 * (-1))]' = (1/2) * (2 * (-1))^(-1/2) * 2 [√(-2)]' = (1/2) * (-2)^(-1/2) * 2 [√(-2)]' = (1/2) * (i) * 2 [√(-2)]' = i

Теперь вычислим общую производную:

f'(-1) = (1/2) * (4 + i)^(-1/2) * (-4 + 1/2) - (1/2) * i f'(-1) = (1/2) * [(4 + i)^(-1/2) * (-4 + 1/2) - i]

Значение производной f(x) в точке x = -1 равно (1/2) * [(4 + i)^(-1/2) * (-4 + 1/2) - i]. Это точное значение производной в данной точке.