Question

2sin^2(45+a)-sin2a упростить выражение

Answer 1

Ответ:

$2\, sin^2(45^\circ +a)-sin2a=2\cdot (sin45\cdot cosa+cos45^\circ \cdot sina)^2-sin2a=\\\\=2\cdot \Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot cosa+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot sina\Big)^2-sin2a=2\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot (cosa+sina)^2-sin2a=\\\\=\sqrt2\cdot (cos^2a+\underbrace {2cosa\cdot sina}_{sin2a}+sin^2a)-sin2a=\\\\=\sqrt2\cdot (1+sin2a)-sin2a=\sqrt2+\sqrt2\, sin2a-sin2a=\sqrt2+(\sqrt2-1)\,sin2a$

Answer 2

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся формулами для тригонометрических функций.

1. Сначала заметим, что sin(45°) = sin(π/4) = 1/√2.

2. Также, мы можем использовать тригонометрическую формулу для sin(α + β):

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).

В данном случае α = 45° и β = a:

sin(45° + a) = sin(45°)cos(a) + cos(45°)sin(a) = (1/√2)cos(a) + (1/√2)sin(a).

3. Затем, заметим, что sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

Теперь мы можем переписать выражение:

2sin^2(45° + a) - sin(2a) = 2[(1/√2)cos(a) + (1/√2)sin(a)]^2 - 2sin(a)cos(a) = 2(1/2)(cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a)) - 2sin(a)cos(a) = cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a) - 2sin(a)cos(a).

Теперь, используя тригонометрические тождества, можем упростить:

cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a) - 2sin(a)cos(a) = 1 + 2sin(a)cos(a) - 2sin(a)cos(a) = 1.

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.