Question

Довести що при всіх дійсних значеннях b виконується нерівність (2b-8)(b-2)+3>(b-3)²

Answer 1

(2b - 8) (b - 2) + 3 > (b - 3)²

2b² - 4b - 8b + 16 + 3 > b² - 6b + 9

2b² - 12b + 19 > b² - 6b + 9

2b² - 12b + 19 - b² - 6b + 9

2b² - 12b + 19 - b² + 6b - 9 > 0

b² - 6b + 10 > 0

b² - 6b + 10 = 0

b є R

відзнач ласка моя відповідь коронкою як кращий відповідь

Answer 2

Давайте спростимо нерівність та доведемо її для всіх дійсних значень b.

Почнемо з даної нерівності:

(2b - 8)(b - 2) + 3 > (b - 3)²

Спростимо ліву та праву частини нерівності.

Ліва частина: (2b - 8)(b - 2) + 3 = 2(b - 4)(b - 2) + 3 = 2(b² - 6b + 8) + 3 = 2b² - 12b + 16 + 3 = 2b² - 12b + 19

Права частина: (b - 3)² = b² - 6b + 9

Тепер ми можемо підставити ці вирази назад у нашу нерівність:

2b² - 12b + 19 > b² - 6b + 9

Тепер віднімемо b² та додамо 6b до обох сторін нерівності:

2b² - b² - 12b + 6b + 19 - 9 > 0

Це спрощується до:

b² - 6b + 10 > 0

Тепер ми маємо квадратичну нерівність. Щоб довести, що вона виконується для всіх дійсних значень b, ми можемо скористатися дискримінантом (дискримінант – це частина формули для знаходження коренів квадратного рівняння):

Дискримінант = b² - 4ac

У нашому випадку a = 1, b = -6, і c = 10, тому дискримінант:

D = (-6)² - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4

Дискримінант від'ємний, що означає, що квадратне рівняння b² - 6b + 10 = 0 не має дійсних коренів. Таким чином, воно не має нульових точок, і значення b² - 6b + 10 завжди залишатиметься позитивним для всіх дійсних b.

Отже, ми довели, що для всіх дійсних значень b нерівність (2b - 8)(b - 2) + 3 > (b - 3)² виконується.