Question

Розвяжіть рівняння x^4-17x^2+16=0 (15 баллов)

Answer 1

Ответ:

t=x^2

t^2-17t+16=0

t1=1

t2=16

x1,2=+-1

x3,4=+-4

Ответ: -1; 1; -4; 4

Answer 2

Щоб розв'язати дане рівняння x^4 - 17x^2 + 16 = 0, спробуємо зробити підстановку, щоб спростити його.

Зробимо підстановку: y = x^2. Тоді рівняння стане y^2 - 17y + 16 = 0.

Це квадратне рівняння можна розв'язати наступним чином:

1. Розділімо обидві сторони на 2, щоб спростити його: y^2 - 17y + 16 = 0.

2. Знайдемо два числа, які мають суму -17 і добуток 16. Ці числа -16 і -1.

3. Розкладемо середній член -17y на два члени, використовуючи ці числа: y^2 - 16y - y + 16 = 0.

4. Згрупуємо члени рівняння: (y^2 - 16y) - (y - 16) = 0.

5. За допомогою додавання і віднімання 256 (16^2) перетворимо першу дужку: (y^2 - 16y + 256) - (y - 16) - 256 = 0.

6. Тепер ми маємо квадрат дужки в першій дужці: (y - 16)^2 - (y - 16) - 256 = 0.

7. Перейдемо до нової змінної, яка є y - 16: z = y - 16. Тоді рівняння стане: z^2 - z - 256 = 0.

8. Розв'яжемо це квадратне рівняння: z^2 - z - 256 = 0.

Ми можемо використати квадратне рівняння для знаходження значення z:

z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

де a = 1, b = -1 і c = -256. Підставимо ці значення:

z = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-256))) / (2(1))

z = (1 ± √(1 + 1024)) / 2

z = (1 ± √1025) / 2.

9. Тепер, знаючи значення z, ми можемо знайти значення y:

y = z + 16.

Тобто, y = (1 ± √1025) / 2 + 16.

10. Завершивши знаходження значень y, ми повертаємось до початкової змінної x:

x^2 = y.

Отже, x = ±√y.

Підставляючи значення y, ми отримаємо чотири розв'язки:

x1 = √((1 + √1025) / 2) (позитивний корінь)

x2 = -√((1 + √1025) / 2) (негативний корінь)

x3 = √((1 - √1025) / 2) (позитивний корінь)

x4 = -√((1 - √1025) / 2) (негативний корінь)

Ці чотири значення x є розв'язками рівняння x^4 - 17x^2 + 16 = 0.