Question

Найдите суму 1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1 n^2 якщо n є N ^-степень

Answer 1

Ответ: 1² - 2² + 3² - 4²+ 5² - 6²+ ... = (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4)+ (5-6)(5+6) + ... =

= (-1) * (1+2+3+4+5+6+...+n) = (по формуле для арифметической прогрессии с разностью = 1 и числом членов = n) = (-1)*n*(n+1)/2 =

= -n(n+1)/2  - формула суммы для четного n.

Для нечетного n: S = (-1)* (1+2+3+...+ n-1) + n² = [То есть, к примеру, мы фиксируем сумму не на слагаемом типа -130², как в первом случае, а на слагаемом типа +131² и для данного места находим значение суммы ряда] = (-1)* (1+n-1)*(n-1)/2 + n² = -n(n-1)/2 + n² = (2n² - n² + n)/2 =

= (n²+n)/2 = n(n+1)/2.

В общем случае можно записать S(n) = [(-1)^(n-1)] * n(n+1)/2, n є N

Answer 2

Даний ряд має вигляд:

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^(n-1) * n^2.

Це є альтернативною сумою квадратів натуральних чисел, де парні числа мають знак мінус, а непарні числа мають плюс.

Спочатку знайдемо суму перших n натуральних чисел:

S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n * (n + 1) / 2.

Тепер знайдемо суму квадратів перших n натуральних чисел:

S2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6.

Тепер ми можемо обчислити шукану суму:

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^(n-1) * n^2 = S2 - 2 * (S2 - S1) = S1 + S2 = n * (n + 1) / 2 + n * (n + 1) * (2n + 1) / 6.

Тепер, якщо n - це натуральне число (n ∈ N), ми можемо виразити суму в залежності від n:

n * (n + 1) / 2 + n * (n + 1) * (2n + 1) / 6 = (n * (n + 1) / 6) * (3 + (2n + 1)) = (n * (n + 1) / 6) * (2n + 4) = n * (n + 1) * (n + 2) / 6.

Отже, сума 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^(n-1) * n^2 дорівнює n * (n + 1) * (n + 2) / 6 для n ∈ N.