Question

5 (2 бали). Знайдіть три послідовні натуральні числа, якщо потро- єний квадрат більшого з них на 67 більший, ніж сумаквадратів двох інших.​

Answer 1

Ответ:

4, 5, 6

Объяснение:

Пусть последовательные числа: n - 1, n, n + 1

Запишем условие:

$3 * (n+1)^{2} - 67 = n^{2} + (n-1)^{2}$

Раскроем скобки:

$3 * (n^{2} + 2n + 1) - 67 = n^{2} + n^{2} - 2n + 1\\3n^{2} + 6n + 3 - 67 = 2 n^{2} - 2n + 1\\n^{2}+8n-65 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$\frac{D}{4} = (\frac{8}{2} )^{2} - 1 * (-65) = 16 + 65 = 81\\n_{1} = -\frac{8}{2} +\sqrt{D} = -4 + 9 = 5\\n_{2} = -\frac{8}{2} -\sqrt{D} = -4 - 9 = -13$

Натуральное число не может быть -13, значит n = 5.

Проверка:

$3*6^{2} - 67 = 4^{2}+ 5^{2} \\41 = 41$

Answer 2

Давайте позначимо три послідовні натуральні числа як a, a + 1 і a + 2, де "a" - це перше число в послідовності. Тепер ми можемо сформулювати рівняння згідно умови:

(a + 2)^2 = a^2 + (a + 1)^2 + 67

Розгорнемо кожен квадрат і спростимо рівняння:

a^2 + 4a + 4 = a^2 + a^2 + 2a + 1 + 67

Тепер виразимо "a":

4a + 4 = 2a + 68

Віднімемо 2a з обох боків:

2a + 4 = 68

Тепер віднімемо 4 з обох боків:

2a = 64

Поділімо обидва боки на 2, щоб знайти значення "a":

a = 32

Отже, перше число в послідовності - 32. Далі числа будуть 33 і 34.

Отже, три послідовні натуральні числа, які задовольняють умову, це 32, 33 і 34.