Question

Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x^4-8x^2+3 на отрезке [-3;3]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

наибольшее и наименьшее значение функции может быть на концах отрезка и в точках экстремума если они принадлежат отрезку

найдем точки экстремума

y'=4x³-16x=0

4x(x²-4)=0

4x(x-2)(x+2)=0

x₁=0 ;x₂=2;x₃=-2  все корни ∈ [-3;3]

находим значения функции на концах отрезка и в точках экстремума

y=x⁴-8x²+3

с учетом четности функции

y(-3)=y(3)=3⁴-8*3²+3=81-72+3=12

y(-2)=y(2)=2⁴-8*2²+3=16-32+3=-13

y(0)=3

выбираем наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3;3]

наибольшее значение функции  12

наименьшее значение функции -13

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-3, 3]$, нам нужно найти экстремумы функции в этом интервале, а также значения функции на его концах.

1. Начнем с поиска экстремумов. Для этого найдем производную функции $y$ по $x$ и приравняем ее к нулю:

   $y' = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x + 2)(x - 2)$

   Теперь найдем значения $x$, при которых $y' = 0$:

   $x = 0$ (при $x = 0$, $y' = 0$) $x = -2$ (при $x = -2$, $y' = 0$) $x = 2$ (при $x = 2$, $y' = 0$)

2. Теперь, чтобы определить характер экстремумов (минимумы или максимумы), мы можем использовать вторую производную $y''$. Если $y''$ положительна в точке, то это минимум, и если отрицательна, то это максимум. Подставим найденные значения $x$ во вторую производную:

   $y''(0) = 4(3) = 12$ (положительная, поэтому минимум) $y''(-2) = 4(-1)(-4) = 16$ (положительная, поэтому минимум) $y''(2) = 4(1)(4) = 16$ (положительная, поэтому минимум)

3. Теперь найдем значения функции $y$ в найденных экстремумах и на концах отрезка:

   $y(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 3 = 3$ $y(-2) = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 3 = 23$ $y(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 3 = 23$ $y(-3) = (-3)^4 - 8 \cdot (-3)^2 + 3 = 90$ $y(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^2 + 3 = 90$

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[-3, 3]$ равно 3, и оно достигается при $x = 0$, а наибольшее значение функции равно 90, и оно также достигается на концах отрезка ($x = -3$ и $x = 3$).