Question

Найдите значение выражения: tan1°tan2°...tan89°

Answer 1

Поменяем местами множители:

$\mathrm{tg}1^\circ \mathrm{tg}2^\circ...\mathrm{tg}89^\circ=\mathrm{tg}1^\circ\mathrm{tg}89^\circ\cdot \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{tg}88^\circ\cdot...\cdot\mathrm{tg}44^\circ\mathrm{tg}46^\circ\cdot\mathrm{tg}45^\circ\,\boxed{=}$

Преобразуем некоторые тангенсы:

$\boxed{=}\,\mathrm{tg}1^\circ\mathrm{tg}(90^\circ-1^\circ)\cdot \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{tg}(90^\circ-2^\circ)\cdot...\cdot\mathrm{tg}44^\circ\mathrm{tg}(90^\circ-44^\circ)\cdot\mathrm{tg}45^\circ\,\boxed{=}$

Воспользуемся формулой $\mathrm{tg}(90^\circ-\alpha )=\mathrm{ctg}\,\alpha$:

$\boxed{=}\,\mathrm{tg}1^\circ\mathrm{ctg}1^\circ\cdot \mathrm{tg}2^\circ\mathrm{ctg}2^\circ\cdot...\cdot\mathrm{tg}44^\circ\mathrm{ctg}44^\circ\cdot\mathrm{tg}45^\circ\,\boxed{=}$

Воспользуемся формулой $\mathrm{tg}\,\alpha\, \mathrm{ctg}\,\alpha =1$, а также табличным значением $\mathrm{tg}45^\circ=1$:

$\boxed{=}\,1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot1=1$

Answer 2

Вычислить произведение тангенсов от 1° до 89° довольно сложно, но можно воспользоваться некоторыми свойствами и приближениями.

Сначала заметим, что тангенс угла суммы равен отношению суммы тангенсов к их разности:

$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

Теперь, используя это свойство, мы можем перейти от произведения тангенсов к сумме:

$\tan(1^\circ) \tan(2^\circ) \ldots \tan(89^\circ) = \tan(1^\circ) \tan(2^\circ) \tan(3^\circ) \ldots \tan(88^\circ) \tan(89^\circ)$

Разделим выражение на $\tan(89^\circ)$ и заметим, что для всех углов $a$, таких что $0 \leq a \leq 44$, выполняется:

$\tan(a) \tan(89^\circ - a) = 1$

То есть тангенс угла $a$ умноженный на тангенс угла $89^\circ - a$ равен 1. Используя это свойство, мы можем упростить выражение:

$\tan(1^\circ) \tan(2^\circ) \tan(3^\circ) \ldots \tan(44^\circ) \tan(45^\circ) \tan(46^\circ) \ldots \tan(88^\circ) \tan(89^\circ) = \tan(45^\circ) = 1$

Таким образом, значение выражения равно 1.