Question

Решить дифференциальное уравнение y"=-x/y', которое предполагает понижение порядка​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения и понижения порядка, мы можем ввести новую переменную, чтобы упростить уравнение. Пусть новая переменная z(x) = y'(x). Тогда у нас есть следующая система:

1. y' = z
2. y'' = z'

Подставляя это в исходное уравнение, получим:

z' = -x/z

Теперь это стало уравнением первого порядка для переменной z. Давайте решим его с помощью метода разделяющих переменных:

dz/dx = -x/z

Перегруппируем переменные:

z dz = -x dx

Интегрируем обе стороны:

∫(1/z) dz = ∫(-x) dx

ln|z| = -x^2/2 + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интеграции.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|z| = e^(-x^2/2 + C₁)

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если C₁ = 0, то у нас есть:

|z| = e^(-x^2/2)

Это уравнение связывает z(x) и x. Зная z(x), вы можете найти y(x) путем интегрирования:

y(x) = ∫z dx

2. Если C₁ ≠ 0, то можно записать:

z(x) = ±e^(-x^2/2 + C₁)

Затем можно использовать это уравнение для нахождения y(x) так же, как в первом случае.

Важно помнить, что данное уравнение допускает несколько различных решений, в зависимости от значения C₁ и знака в выражении для z.