Question

Решить дифференциальное уравнение у"*tgx=y'+1, которое допускает понижение порядка

Answer 1

у"*tgx=y'+1 

Порядок понижается элементарно, пуcть u = y' тогда

u'*tgx = u+1
du/(u+1) = ctgx*dx
ln(u+1) = ∫(cos*x dx)/sin x = ∫ d(sin x)/sin x = ln |sin x| + C
u+1 = C*|sin x|

y' = C*|sin x| - 1

Дальше по случаям. Где синус икс положителен

y' = C*sinx - 1
y = -C*cos x - x + C1

Где отрицателен

y' = -C*sinx - 1
y = C*cosx - x + C1

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала понизим его порядок.

Пусть y' = z, тогда исходное уравнение примет вид:

z*tan(x) = z' + 1

Дифференцируем это уравнение по x:

(z*tan(x))' = (z' + 1)'

z'*tan(x) + z*sec^2(x) = z''

Теперь полученное уравнение можно решить относительно z'':

z' - z'*tan(x) = z*sec^2(x) - 1

z'*(1 - tan(x)) = z*sec^2(x) - 1

z' = (z*sec^2(x) - 1) / (1 - tan(x))

Таким образом, получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно z'. Теперь можно решить его методом разделения переменных или другими методами для дифференциальных уравнений первого порядка.

После того, как найдено решение z(x), можно восстановить искомую функцию y(x) из уравнения y' = z(x):

y(x) = ∫ z(x) dx + C,

где С - произвольная постоянная.