Question

Исследуйте функцию y=f(x) и постройте её график f(x)=-3x^3+2x^2

Answer 1

f(x) = –3x³ + 2x²

1. Области определения и значений

Область определения: x ∈ (–∞; +∞).

Область значений: f(x) ∈ (–∞; +∞).

2. Чётность

f(–x) = –3(–x)³ + 2(–x)² = 3x³ + 2x²

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Пересечения с осью OX (корни)

–3x³ + 2x² = 0 ⇔ x²(–3x + 2) = 0

x₁ = 0, x₂ = 2/3

4. Пересечение с осью OY

f(0) = –3·0³ + 2·0² = 0

5. Экстремумы и интервалы монотонности

f'(x) = (–3x³ + 2x²)' = –9x² + 4x = x(–9x + 4)

f'(x) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = 4/9

Функция f(x) убывает на интервале (–∞; 0) ∪ (4/9; +∞).

Функция f(x) возрастает на интервале (0; 4/9).

Локальный минимум: x = 0, f(0) = 0.

Локальный максимум: x = 4/9, f(4/9) = –3(4/9)³ + 2(4/9)² = 32/243 ≈ 0,13

6. Выпуклость

f''(x) = (–9x² + 4x)' = –18x + 4

f''(x) = 0 ⇒ x = 2/9

Точка перегиба: x = 2/9.

Функция f(x) вогнутая на интервале (–∞; 2/9).

Функция f(x) выпуклая на интервале (2/9; +∞).

Answer 2

Для исследования функции y = f(x) = -3x^3 + 2x^2 и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.
2. Определим интервалы увеличения и уменьшения функции.
3. Найдем точки пересечения с осями.
4. Построим график функции.

Шаг 1: Найдем производные функции: f'(x) = d/dx (-3x^3 + 2x^2) f'(x) = -9x^2 + 4x

f''(x) = d/dx (-9x^2 + 4x) f''(x) = -18x + 4

Шаг 2: Найдем интервалы увеличения и уменьшения функции, а также точки экстремума. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-9x^2 + 4x = 0 -9x^2 + 4x = x(4 - 9x) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 4/9.

Теперь мы можем построить таблицу интервалов:

Интервал	Знак f'(x)	Тип интервала
(-∞, 0)	+	Возрастание
(0, 4/9)	-	Убывание
(4/9, ∞)	+	Возрастание

Таким образом, функция увеличивается на интервале (-∞, 0), убывает на интервале (0, 4/9) и снова увеличивается на интервале (4/9, ∞).

Шаг 3: Найдем точки пересечения с осями: f(0) = -3(0)^3 + 2(0)^2 = 0 Точка (0, 0) пересекает ось x.

Теперь мы готовы построить график функции:

Шаг 4: Построим график:

График функции y = -3x^3 + 2x^2 будет иметь форму кубической кривой с точкой перегиба в точке (4/9, f(4/9)) и пересечением оси x в точке (0, 0).

Пожалуйста, обратите внимание, что я не могу физически построить график, но вы можете использовать графический инструмент, такой как графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, чтобы увидеть, как выглядит график этой функции на плоскости.