Question

50 баллов В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего членов равно 128, сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прогрессии?

Answer 1

Ответ:

в заданной прогрессии 6 членов

Объяснение:

1. Для заданной геометрической прогрессии B(n) известно следующее:

 

B1 + Bn = 66;

 

B1 = 66 - Bn;

 

2. B2 * B(n - 1) = 128;

 

(B1 * q) * (B1 * q^(n - 2) = B1 * (B1 * q* q^(n - 2)) =

 

B1 * (B1 * q^(n - 1)) = B1 * Bn = 128;

 

(66 - Bn) * Bn = 128;

 

Bn² - 66 * Bn + 128 = 0;

 

Bn1,2 = 33 +- sqrt(33² - 128) = 33 +- 31;

 

Bn = 33 + 31 = 64 (прогрессия возрастающая);

 

B1 = 66 - Bn = 66 - 64 = 2;

 

3. Вычислим n:

 

B1 * Bn = B1² * q^(n - 1) = 128;

 

q^(n - 1) = 128 / B1² = 128 / 2² = 32 = 2^5;

 

n - 1 = 5;

 

n = 5 + 1 = 6.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a", а знаменатель этой прогрессии как "q". Тогда второй член будет "a * q", предпоследний член будет "a * q^(n-2)", а последний член будет "a * q^(n-1)", где "n" - количество членов в прогрессии.

Известно, что сумма первого и последнего членов равна 66:

a + a * q^(n-1) = 66

Также известно, что произведение второго и предпоследнего членов равно 128:

a * q * a * q^(n-2) = 128

И сумма всех членов равна 126:

a * (1 - q^n) / (1 - q) = 126

Мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: "a", "q" и "n". Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения этих неизвестных.

Давайте начнем с уравнения суммы первого и последнего членов:

a + a * q^(n-1) = 66

a * (1 + q^(n-1)) = 66

a = 66 / (1 + q^(n-1))

Теперь заменим "a" в уравнениях произведения второго и предпоследнего членов и суммы всех членов:

(66 / (1 + q^(n-1))) * q * (66 / (1 + q^(n-1))) * q^(n-2) = 128

66^2 * q^(n-2) / (1 + q^(n-1))^2 = 128

Теперь рассмотрим уравнение суммы всех членов:

(66 / (1 + q^(n-1))) * (1 - q^n) / (1 - q) = 126

66 * (1 - q^n) / (1 - q) = 126

1 - q^n = (126 * (1 - q)) / 66

1 - q^n = (63 * (1 - q)) / 66

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными, "q" и "n". Мы можем решить эту систему численно или с помощью компьютера, так как это не так просто решить аналитически. Решив эту систему, вы найдете значения "q" и "n", которые будут указывать на знаменатель прогрессии и количество членов в прогрессии соответственно.