Question

На яких проміжках функція f(x)=8x+2/3x^3 зростає?

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

f(x)=8x+2/3 x^3

Необхідно знайти область знакосталості похідної

f'(x)=8+2x^2

f'(x)>0 для хє (-inf; +inf)

Так як похідна для всіх значень хєR більше 0, то функція зростає всюди

Якщо х^3 знаходиться в знаменнику, то

f(x)=8x+2/(3x^3)

f'(x)=8-2/(x^4)

f'(x)=0 → х^4=1/4

|х|=(1/4)^(1/4) нулі похідної

|х|=1/√2

_+__-2__+__-(1/√2)__-__0__-__(1/√2)__+_2_+__

На проміжку хє (-1/√2; 0)U(0; 1/√2) похідна менше 0, тому функція спадає

На проміжку хє (-inf; -1/√2]U[1/√2; +inf) функція зростає

Так як -2< -1/√2 та 2>1/√2

то на проміжку хє (-inf; -2]U[2; +inf) функція зростає

Answer 2

Щоб визначити на яких проміжках функція $f(x) = 8x + \frac{2}{3}x^3$ зростає, ми повинні знайти значення $x$, для яких похідна функції $f'(x)$ є додатньою.

Похідна функції $f(x)$ виглядає наступним чином: $f'(x) = 8 + 2x^2$

Щоб знайти значення $x$, для яких $f'(x) > 0$, розв'яжемо нерівність $8 + 2x^2 > 0$: $2x^2 > -8$ $x^2 > -4$

Ця нерівність істинна для всіх $x$, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є не від'ємним. Отже, функція $f(x) = 8x + \frac{2}{3}x^3$ зростає на всій множині дійсних чисел.