Question

Определи, при каких значениях b прямая, заданная формулой y=b, и график функции y=−x2+5x+5|x−2| будут иметь ровно три общие точки. Построй график функции и эту прямую, отметь точки пересечения и запиши значения, которые может принимать параметр b.

Answer 1

Ответ:

b = 10

Объяснение:

Три общих точки будет в тех значениях, где у параболы вершина.

y = b; y = -x^2 + 5x + 5|x-2|

При x < 2 будет функция:

y = -x^2 + 5x + 5(2-x) = -x^2 + 5x + 10 - 5x = -x^2 + 10

Вершина этой части параболы:

x = 0; y = -0^2 + 10 = 10

Значение на конце x = 2; y = -2^2 + 10 = -4 + 10 = 6

Первое решение: b = 10

При x >= 2 будет функция:

y = -x^2 + 5x + 5(x-2) = -x^2 + 5x + 5x - 10 = -x^2 + 10x - 10

Вершина этой части параболы:

x = -10/(-2) = 5; y = -5^2 + 10*5 - 10 = 15

Но в этой точке будет только одно пересечение.

Значение на конце x = 2; y = -2^2 + 10*2 - 10 = -4 + 20 - 10 = 6.

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра b, при которых прямая y = b и график функции y = -x^2 + 5x + 5|x - 2| имеют ровно три общие точки, нам нужно рассмотреть, как эта функция пересекает горизонтальную прямую y = b.

Сначала давайте определим уравнение функции:

y = -x^2 + 5x + 5|x - 2|

Теперь давайте учтем, что эта функция может иметь точки пересечения с горизонтальной прямой y = b. Точки пересечения будут удовлетворять уравнению:

-b = -x^2 + 5x + 5|x - 2|

Давайте разберемся с разными случаями в зависимости от положения горизонтальной прямой y = b относительно графика функции:

1. Если b < 0, то у нас не будет точек пересечения, потому что правая сторона уравнения всегда больше или равна нулю из-за модуля и будет положительной или нулем.

2. Если 0 <= b <= 5, то у нас будет ровно одна точка пересечения, потому что горизонтальная прямая будет пересекать вершину параболы (x - 2)^2.

3. Если b > 5, то у нас будут две точки пересечения. График функции будет пересекаться с горизонтальной прямой в двух точках.

Теперь мы видим, что только во втором случае (0 <= b <= 5) мы имеем ровно три точки пересечения. Построим график этой функции для наглядности и отметим точки пересечения:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 4, 400)
y = -x**2 + 5*x + 5*np.abs(x - 2)

plt.plot(x, y, label='y = -x^2 + 5x + 5|x - 2|')

b_values = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
for b in b_values:
    plt.axhline(y=b, color='r', linestyle='--', label=f'y = {b}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.show()

Из графика видно, что горизонтальная прямая y = b пересекает график функции ровно три раза при значениях b от 0 до 5 включительно. Таким образом, параметр b может принимать значения в диапазоне [0, 5].