Question

Решите систему неравенств: х2 - 4 > 0, x2 - 12x – 15 <0

Answer 1

Ответ:

x ∈ (2; 6 + √51)

Объяснение:

x² - 4 > 0 ⇒ |x| > 2 ⇒ x ∈ (- ∞, -2) ∪ (2, + ∞)

x² - 12x - 15 < 0 ⇒ x ∈ (6 - √51; 6 + √51)

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по отдельности.

1. $x^2 - 4 > 0$

Это неравенство можно переписать в виде:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Решим это неравенство, разбив его на интервалы:

1.1) $(x - 2) > 0$ и $(x + 2) > 0$

Из первого неравенства получаем: $x > 2$.

Из второго неравенства получаем: $x > -2$.

Оба неравенства должны выполняться, так что интервал, где $x > 2$ и $x > -2$, это $x > 2$.

2. $x^2 - 12x - 15 < 0$

Это неравенство можно решить с помощью метода интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения:

$x^2 - 12x - 15 = 0$

Используя квадратное уравнение, мы получаем два корня:

$x_1 = 6 + 3\sqrt{2}$ и $x_2 = 6 - 3\sqrt{2}$.

Теперь разбиваем число прямой на интервалы, используя эти точки:

1.2) $x < 6 - 3\sqrt{2}$

1.3) $6 - 3\sqrt{2} < x < 6 + 3\sqrt{2}$

1.4) $x > 6 + 3\sqrt{2}$

Теперь анализируем каждый интервал:

1.2) Проверяем значение неравенства в точке $x = 6 - 3\sqrt{2}$, например, подставив $x = 6 - 3\sqrt{2}$ в неравенство $x^2 - 12x - 15 < 0$:

$(6 - 3\sqrt{2})^2 - 12(6 - 3\sqrt{2}) - 15$ $\approx -16.49 < 0$.

Итак, интервал $x < 6 - 3\sqrt{2}$ удовлетворяет неравенству.

1.3) Выбираем произвольную точку в интервале, например, $x = 6$. Подставим в неравенство:

$6^2 - 12 \cdot 6 - 15 = -51 < 0$.

Таким образом, интервал $6 - 3\sqrt{2} < x < 6 + 3\sqrt{2}$ также удовлетворяет неравенству.

1.4) Подставим $x = 6 + 3\sqrt{2}$:

$(6 + 3\sqrt{2})^2 - 12(6 + 3\sqrt{2}) - 15$ $\approx -16.49 < 0$.

Таким образом, и этот интервал $x > 6 + 3\sqrt{2}$ удовлетворяет неравенству.

Итак, решение системы неравенств:

$x > 2$ и $6 - 3\sqrt{2} < x < 6 + 3\sqrt{2}$