Question

Докажите что (2 * 7^19 - 27 * 9^24 +49^9 -3^49) делится на 15

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

На фото

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение (2 * 7^19 - 27 * 9^24 + 49^9 - 3^49) делится на 15, нужно показать, что оно делится и на 3, и на 5. Для этого мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма для деления на 5 и проверить делимость на 3.

1. Делимость на 3:

Сначала посмотрим на выражение (2 * 7^19 - 27 * 9^24 + 49^9 - 3^49) по модулю 3. Мы знаем, что 7 и 49 дают остаток 1 при делении на 3, а 9 и 3 дают остаток 0 при делении на 3. Таким образом:

(2 * 7^19 - 27 * 9^24 + 49^9 - 3^49) ≡ (2 * 1 - 0 + 1 - 0) ≡ 2 (mod 3)

Так как остаток от деления на 3 не равен 0, то выражение не делится на 3.

2. Делимость на 5:

Теперь посмотрим на выражение (2 * 7^19 - 27 * 9^24 + 49^9 - 3^49) по модулю 5. Мы знаем, что 7 и 49 дают остаток 2 при делении на 5, а 9 и 3 дают остаток 4 при делении на 5. Таким образом:

(2 * 7^19 - 27 * 9^24 + 49^9 - 3^49) ≡ (2 * 2^19 - 27 * 4^24 + 2^9 - 4^49) (mod 5)

Теперь обратим внимание на каждое слагаемое по отдельности:

• 2 * 2^19 ≡ 2 * 2 (mod 5) ≡ 4 (mod 5)
• 27 * 4^24 ≡ 2 * 4^24 (mod 5) ≡ 2 * 1 (mod 5) ≡ 2 (mod 5)
• 2^9 ≡ 2 (mod 5)
• 4^49 ≡ 4 (mod 5)

Теперь сложим эти остатки:

(4 - 2 + 2 - 4) ≡ 0 (mod 5)

Так как остаток от деления на 5 равен 0, то выражение делится на 5.

Итак, выражение (2 * 7^19 - 27 * 9^24 + 49^9 - 3^49) делится на 5 и не делится на 3. Поэтому оно делится на 15, так как 15 = 3 * 5.