Question

Найти производную от произведения сложной функции:

Answer 1

Ответ:

$y=3\, tg(4x^5+3)\cdot 2\sqrt{2x^2+\frac{9}{x}}\ \ ,\ \ \ \ \ (uv)'=u'v+uv'\ \ ,\\\\\\y'=3\cdot \dfrac{1}{cos^2(4x^5+3)}\cdot 20x^4\cdot 2\sqrt{2x^2+\frac{9}{x}}\ +\\\\\\+\ 3\, tg(4x^5+3)\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2x^2+\frac{9}{x}}}\cdot (4x-\frac{9}{x^2})$

Answer 2

Для нахождения производной от произведения сложной функции можно воспользоваться правилом производной произведения (производной произведения двух функций). Если у вас есть функция $y = f(g(x)) \cdot h(x)$, где $f(g(x))$ - сложная функция и $h(x)$ - другая функция, то производная этого выражения будет выглядеть следующим образом:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d(f(g(x)) \cdot h(x))}{dx} = f(g(x)) \cdot \frac{dh(x)}{dx} + h(x) \cdot \frac{d(f(g(x)))}{dx}$$

В данном выражении $\frac{dh(x)}{dx}$ - производная функции $h(x)$ по переменной $x$, а $\frac{d(f(g(x)))}{dx}$ - производная сложной функции $f(g(x))$ по переменной $x$.

Давайте рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас есть функция:

$y = e^{2x} \cdot \sin(x)$

Тогда мы можем применить правило производной произведения:

1. $f(g(x)) = e^{2x}$
2. $h(x) = \sin(x)$

Теперь найдем производные:

$$\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{d(e^{2x})}{dx} = 2e^{2x}$$

$$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{d(\sin(x))}{dx} = \cos(x)$$

И, используя формулу производной произведения, получаем:

$$\frac{dy}{dx} = e^{2x} \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot 2e^{2x}$$

Таким образом, это будет производная от произведения сложной функции $y = e^{2x} \cdot \sin(x)$.