Question

1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. a. х^2 + 2x +2≥0;b. —x^2 + 4х – 5> 0;с. х^2 + 4х +3≤0:d. х^2 – 4x >0.1) Неравенство не имеет решений.2) Решением неравенства является вся числовая прямая.3) Решением неравенства является одна точка.4) Решением неравенства является закрытый промежуток.5) Решением неравенства является открытый промежуток.6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ x^2+2x+2\geq 0\ \ ,\ \ D=4-8=-40\ \to \ \ x\in (-\infty ;+\infty )$

Ответ: №2 (вся числовая прямая) .

$b)\ \ -x^2+4x-5>0\ \ \to \ \ x^2-4x+5$

Ответ: №1 ( не имеет решений ) .

$c)\ \ x^2+4x+3\leq 0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=-3\ \ (teorema\ Vieta)\\\\x\in [-3\ ;-1\ ]$

Ответ: №4 ( закрытый промежуток: сегмент ) .

$d)\ \ x^2-4x>0\ \ ,\ \ \ x(x-4)>0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=4\\\\x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 4\ ;+\infty \, )$

Ответ: №6 ( объединение двух промежутков ) .

Answer 2

Для каждого из предложенных неравенств рассмотрим их дискриминанты и значения на промежутках между корнями.

a. x^2 + 2x + 2 ≥ 0: Дискриминант D = 2^2 - 412 = 4 - 8 = -4, что меньше нуля. Таким образом, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, и его график не пересекает ось x. Значит, x^2 + 2x + 2 ≥ 0 для всех значений x, и решением будет вся числовая прямая.

Ответ: 2) Решением неравенства является вся числовая прямая.

b. -x^2 + 4x - 5 > 0: Дискриминант D = 4^2 - 4*(-1)*(-5) = 16 - 20 = -4, что меньше нуля. Таким образом, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, и его график не пересекает ось x. Значит, -x^2 + 4x - 5 > 0 для всех значений x, и решением будет вся числовая прямая.

Ответ: 2) Решением неравенства является вся числовая прямая.

c. x^2 + 4x + 3 ≤ 0: Дискриминант D = 4^2 - 413 = 16 - 12 = 4, что больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня, и его график пересекает ось x в двух точках. Чтобы определить знак выражения на интервалах между корнями, можно использовать тестовую точку. Например, можно взять x = -2. Это значение вставляется в x^2 + 4x + 3:

(-2)^2 + 4*(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Значение отрицательно, поэтому x^2 + 4x + 3 < 0 для x < -2 и x > -2. На интервале (-бесконечность, -2) и (2, +бесконечность) неравенство выполняется.

Ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

d. x^2 - 4x > 0.1: Сначала преобразуем неравенство, вычитая 0.1 с обеих сторон:

x^2 - 4x - 0.1 > 0.

Теперь рассмотрим дискриминант уравнения x^2 - 4x - 0.1 = 0:

D = 4^2 - 41(-0.1) = 16 + 0.4 = 16.4, что больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня, и его график пересекает ось x в двух точках. Для определения знака на интервалах между корнями, можно использовать тестовую точку, например, x = 2:

(2)^2 - 4*2 - 0.1 = 4 - 8 - 0.1 = -4.1.

Значение отрицательно, поэтому x^2 - 4x - 0.1 < 0 для x < 2 и x > 2. На интервале (-бесконечность, 2) и (2, +бесконечность) неравенство выполняется.

Ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.