Question

Решить уравнения 1) ln(x^2-4x+4)=ln2+ln(x+2) 2) 3cos^2 x+sin^2 x=3,5

Answer 1

Ответ:

1.

$ln( {x}^{2} - 4x + 4 ) = ln(2) + ln(x + 2) \\ ln( {x}^{2} - 4x + 4) = ln(2(x + 2)) \\ {x}^{2} - 4x + 4 = 2x + 4 \\ {x}^{2} - 6x = 0 \\ x(x - 6) = 0 \\ x_1 = 0 \\ x_2 = 6$

Проверка:

$x_1 = 0 \\ ln(4) = ln(2) + ln(2) \\ ln(4) = ln(4) \\ \\ x_2 = 6 \\ ln(36 - 24 + 4) = ln(2) + ln(8) \\ ln(16) = ln(16)$

Ответ: 0; 6

2.

$3 \cos {}^{2} (x) + \sin {}^{2} (x) = 3.5 \\ 3 \cos {}^{2} (x) + 1 - \cos {}^{2} (x) = 3.5 \\ 2 \cos {}^{2} (x) = 2.5 \\ \cos {}^{2} (x) = \frac{5}{4} \\ \cos(x) = \pm \frac{ \sqrt{5} }{2}$

нет корней, так как эти числа не входят в область допустимых значений для косинуса:

cosx ∈ [-1;1]

Answer 2

1. Рассмотрим уравнение ln(x^2 - 4x + 4) = ln(2) + ln(x + 2). Используя свойство логарифмов ln(a) + ln(b) = ln(a * b), мы можем объединить логарифмы справа:

ln(x^2 - 4x + 4) = ln(2(x + 2))

Теперь мы знаем, что если ln(a) = ln(b), то a = b. Поэтому:

x^2 - 4x + 4 = 2(x + 2)

Раскроем скобки:

x^2 - 4x + 4 = 2x + 4

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

x^2 - 4x - 2x = 4 - 4

x^2 - 6x = 0

Факторизуем уравнение:

x(x - 6) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения x:

1. x = 0
2. x - 6 = 0, отсюда x = 6

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 6.

2. Рассмотрим уравнение 3cos^2(x) + sin^2(x) = 3.5.

Сначала заметим, что 3cos^2(x) + sin^2(x) представляет собой квадратичную форму выражения cos(x). Мы можем использовать замену cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

3(1 - sin^2(x)) + sin^2(x) = 3.5

Теперь упростим уравнение:

3 - 3sin^2(x) + sin^2(x) = 3.5

Объединим похожие члены:

-2sin^2(x) = 0.5

Теперь делим обе стороны на -2:

sin^2(x) = -0.25

Здесь видно, что sin^2(x) не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение не имеет действительных решений.