Question

Два трактори, працюючи разом, можуть зорати поле за 12 год. Один трактор, працюючи окремо, може зорати це поле на 10 год раніше, ніж інший. За який час кожен трактор, працюючи окремо, може зорати поле?​

Answer 1

Пусть х ч - время работы одного трактора, тогда (х + 10) ч - время работы другого трактора. Два трактора, работая вместе, могут вспахать поле за 12 часов.

Работу по вспашке поля примем за единицу (целое), тогда 1/х - вспашет один трактор за 1 час; 1/(х+10) вспашет другой трактор за 1 час; 1/12 - вспашут оба трактора вместе за 1 час. Уравнение:

1/х + 1/(х+10) = 1/12

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю х · (х + 10) · 12

1 · (х + 10) · 12 + 1 · х · 12 = 1 · х · (х + 10)

12х + 120 + 12х = х² + 10х

24х + 120 = х² + 10х

х² + 10х - 24х - 120 = 0

х² - 14х - 120 = 0

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 · 1 · (-120) = 196 + 480 = 676

√D = √676 = 26

х₁ = (14-26)/(2·1) = (-12)/2 = -6 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (14+26)/(2·1) = 40/2 = 20 (ч) - время работы одного трактора

20 + 10 = 30 (ч) - время работы другого трактора

Відповідь: один за 20 год, інший за 30 год, а разом за 12 год.

Проверка:

1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12 - часть поля, которую вспашут два трактора вместе за 1 час

1 : 1/12 = 1 · 12/1 = 12 ч - время совместной работы

Answer 2

Нехай перший трактор може зорати поле за час "х" годин, а другий трактор - за час "у" годин.

За інформацією, даною в завданні, обидва трактори разом зорють поле за 12 годин. Тобто, їхні робочі швидкості додаються:

1/х + 1/у = 1/12

Дано також, що один трактор може зорати це поле на 10 годин швидше, ніж інший. Це означає, що різниця у часі, який їм потрібен для орати поля, дорівнює 10 годин:

х - у = 10

Отже, маємо систему двох рівнянь:

1/х + 1/у = 1/12 х - у = 10

Давайте використаємо метод підстановки для вирішення цієї системи. Спочатку розв'яжемо друге рівняння щодо "х":

х = у + 10

Тепер підставимо це значення "х" у перше рівняння:

1/(у + 10) + 1/у = 1/12

Далі, помножимо обидві сторони рівняння на 12y(y + 10), щоб позбутися знаменника:

12y + 12(y + 10) = y(y + 10)

Розкриємо дужки і спростимо рівняння:

12y + 12y + 120 = y^2 + 10y

Зведемо подібні члени:

24y + 120 = y^2 + 10y

Перенесемо всі члени на одну сторону рівняння:

y^2 + 10y - 24y - 120 = 0

y^2 - 14y - 120 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати, наприклад, за допомогою квадратного трикутника:

(y - 20)(y + 6) = 0

Отже, маємо два можливих значення для "у":

1. y - 20 = 0, що означає y = 20 годин.

2. y + 6 = 0, що означає y = -6 годин. Однак у даному контексті час не може бути від'ємним, тому цей варіант не підходить.

Таким чином, другий трактор може зорати поле за 20 годин. А щоб знайти час для першого трактора (х), використовуємо друге рівняння:

х = у + 10 х = 20 + 10 х = 30 годин

Отже, перший т