Question

Для квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c, где a>0, выполняется условие |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=4. Найдите его коэффициенты.

Answer 1

Ответ:

(4; -20; 20); (4; -12; 4)

Объяснение:

|f(1)| = |a*1^2+b*1+c| = |a+b+c| = 4

Это значит два варианта:

a+b+c = -4

a+b+c = 4

|f(2)| = |a*2^2+b*2+c| = |4a+2b+c| = 4

Это опять два варианта:

4a+2b+c = -4

4a+2b+c = 4

|f(3)| = |a*3^2+b*3+c| = |9a+3b+c| = 4

И тут два варианта:

9a+3b+c = -4

9a+3b+c = 4

Квадратная функция не может иметь одинаковое значение в 3 точках.

Поэтому варианты (-4;-4;-4) и (4;4;4) сразу отпадают.

И помним, что а > 0, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Если вершина между 2 и 3, и в них обоих значение -4, то в 1 должно быть 4.

{ a+b+c = 4

{ 4a+2b+c = -4

{ 9a+3b+c = -4

Умножаем 1 уравнение на -4 и складываем со 2 уравнением.

Умножаем 1 уравнение на -9 и складываем с 3 уравнением.

{ a+b+c = 4

{ 0a-2b-3c = -20

{ 0a-6b-8c = -40

Умножаем 2 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением.

{ a+b+c = 4

{ 0a-2b-3c = -20

{ 0a+0b+c = 20

Получили с = 20. Подставляем во 2 уравнени.

-2b - 3*20 = -20; -2b = 40; b = -20

Подставляем в 1 уравнение

a - 20 + 20 = 4; a = 4

Решение: (4; -20; 20)

Если вершина между 2 и 3, и в них обоих 4, то в 1 должно быть больше 4. Не подходит.

Если вершина между 1 и 2, и в них обоих 4, то в 3 должно быть больше 4. Не подходит.

Если вершина между 1 и 2, и в них значение -4, то в точке 3 должно быть 4.

{ a+b+c = -4

{ 4a+2b+c = -4

{ 9a+3b+c = 4

Умножаем 1 уравнение на -4 и складываем со 2 уравнением.

Умножаем 1 уравнение на -9 и складываем с 3 уравнением.

{ a+b+c = -4

{ 0a-2b-3c = 12

{ 0a-6b-8c = 40

Умножаем 2 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением.

{ a+b+c=-4

{ 0a-2b-3c = 12

{ 0a+0b+c = 4

Получили с = 4. Подставляем во 2 уравнение

-2b - 3*4 = 12; -2b = 24; b = -12

Подставляем в 1 уравнение

a - 12 + 4 = -4; a = 12 - 4 - 4 = 4

Решение: (4; -12; 4)

Answer 2

Давайте воспользуемся данными условиями для определения коэффициентов a, b и c для квадратного трехчлена f(x)=ax^2+bx+c.

У нас есть следующие условия:

1. |f(1)| = |a(1)^2 + b(1) + c| = 4
2. |f(2)| = |a(2)^2 + b(2) + c| = 4
3. |f(3)| = |a(3)^2 + b(3) + c| = 4

Давайте начнем с первого уравнения:

|a(1)^2 + b(1) + c| = 4

Поскольку a > 0, a не может быть равно нулю. Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: a > 0 и b = 0

Если b = 0, то уравнение становится:

|a(1)^2 + c| = 4

Подставим 1 вместо x:

|a(1)^2 + c| = 4 |a(1)^2 + c| = 4

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a + c = 4
2. -a - c = 4

Добавим эти уравнения:

a + c - a - c = 4 + 4

У нас получится:

0 = 8

Это уравнение не имеет решения, что означает, что случай a > 0 и b = 0 не подходит.

Случай 2: a > 0 и b ≠ 0

Если b ≠ 0, то уравнение можно переписать как:

|a(1)^2 + b(1) + c| = 4

Подставим 1 вместо x:

|a(1)^2 + b(1) + c| = 4

Теперь у нас есть уравнение:

a + b + c = 4

Теперь давайте перейдем ко второму уравнению:

|a(2)^2 + b(2) + c| = 4

Подставим 2 вместо x:

|a(2)^2 + b(2) + c| = 4

Теперь у нас есть уравнение:

4a + 2b + c = 4

Теперь перейдем к третьему уравнению:

|a(3)^2 + b(3) + c| = 4

Подставим 3 вместо x:

|a(3)^2 + b(3) + c| = 4

Теперь у нас есть уравнение:

9a + 3b + c = 4

Итак, у нас есть система трех линейных уравнений:

1. a + b + c = 4
2. 4a + 2b + c = 4
3. 9a + 3b + c = 4

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Выразим c из первого уравнения:

c = 4 - a - b

Подставим это значение c во второе и третье уравнения:

4a + 2b + (4 - a - b) = 4 9a + 3b + (4 - a - b) = 4

Упростим уравнения:

3a + b = 0 8a + 2b = 0

Теперь выразим b из первого уравнения:

b = -3a

Подставим это значение b во второе уравнение:

8a + 2(-3a) = 0

Упростим:

8a - 6a = 0 2a = 0

Теперь мы знаем, что a = 0.

Используя это значение a, найдем b:

b = -3a b = -3(0) b = 0

Теперь у нас есть значения a и b:

a = 0 b = 0

Теперь найдем c, используя первое уравнение:

c = 4 - a - b c = 4 - 0 - 0 c = 4

Итак, коэффициенты квадратного трехчлена f(x) = ax^2 + bx + c, где a > 0, такие, что |f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 4, равны:

a = 0 b = 0 c = 4