Question

Реши задачи с полным оформлением: 1.Лодка прошла 4 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на это столько же времени, сколько на путь 18 км на озере. Определи скорость лодки на озере, если скорость течения реки — 2 км/ч.2.Периметр прямоугольника равен 46 см, а его диагональ — 17 см. Найди стороны прямоугольника.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x км/час - собственная скорость лодки (на озере).

Скорость лодки против течения v=x-2 км/час.

Скорость лодки по течению  v=x+2 км/час.

4 км против течения лодка прошла за s=vt;  4=(x-2)t;

t1=4/(x-2) часа.

16 км по течению лодка прошла за s=vt;  16=(x+2)t;

t2=16/(x+2) часа.

18 км по озеру лодка проходит за s=vt; 18=xt;

t3=18/x часов.

По условию:  t1+t2=t3;

4/(x-2)+16/(x+2)=18/x;

4x(x+2)+16x(x-2)=18(x+2)(x-2);

4x²+8x+16x²-32x=18x²- 72;

2x² - 24x +72=0;                  [: 2]

x²-12x+36=0;

По т. Виета:

x1+x2=12;  x1*x2=36;

x1=x2=6 км/час - скорость лодки по озеру.

***

2.  Периметр Р=2(a+b);  46=2(a+b);  a+b=23;

Диагональ прямоугольника через его стороны

17²=a²+b²;     a²+b²=289.

Система:

a+b=23;

a²+b²=289.

-------------

a=23-b;

(23-b)²+b²=289;

529-2*23*b+b²+b²=289;

2b²-46b+240=0;            [:2]

b²-23b+120=0;

По т. Виета:

b1+b2=23;   b1*b2=120;

b1=8;  b2=15.

-------------

Если b=8 см, то а=23-8=15 см.

Если b=15 см, то а=23-15=8 см.  

Answer 2

1. Пусть $v$ — скорость лодки на озере. Скорость течения реки $= 2$ км/ч.

Время, затраченное на 4 км против течения, равно $\frac{4}{v-2}$ часов.

Время, затраченное на 16 км по течению, равно $\frac{16}{v+2}$ часов.

Из условия задачи известно, что сумма этих времен равна времени, затраченному на 18 км на озере, то есть:

$\frac{4}{v-2} + \frac{16}{v+2} = \frac{18}{v}$

Перемножим все члены уравнения на $v(v-2)(v+2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$4v(v+2) + 16v(v-2) = 18(v-2)(v+2)$

$4v^2 + 8v + 16v^2 - 32v = 18(v^2 - 4)$

$20v^2 - 24v = 18v^2 - 72$

$2v^2 - 24v + 72 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 - 12v + 36 = 0$

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, так как $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0$. Решив его, получим:

$v = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{2} = 6$

Таким образом, скорость лодки на озере равна $6$ км/ч.

2. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.

Из условия задачи известно, что:

$2a + 2b = 46$

$a^2 + b^2 = 17^2$

Из первого уравнения мы можем выразить $a$ через $b$:

$a = 23 - b$

Подставим это значение во второе уравнение:

$(23-b)^2 + b^2 = 289$

$529 - 46b + b^2 + b^2 = 289$

$2b^2 - 46b + 240 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$b^2 - 23b + 120 = 0$

Разложим его на множители:

$(b-8)(b-15) = 0$

Таким образом, $b = 8$ см или $b = 15$ см. Подставим эти значения обратно в уравнение для $a$:

$a = 23 - 8 = 15 \text{ см}$ или (a = 23 - 15 = 8 \text{ см}]

Таким образом, стороны прямоугольника равны 15 см и 8 см.