Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график f(x) =x^3-3x^2+3

Answer 1

Объяснение:

ОДЗ: x = R

1) Знайдемо похідну:

$y = 3 {x}^{2} - 6x$

2) Знайдемо парна чи непарна функція:

$y(x) = {x}^{3} - 3 {x}^{2} + 3$

$y( - x) = - {x}^{3} - 3 {x}^{2} + 3$

ні парна, ні непарна

3) Знайдемо критичні точки:

$3 {x}^{2} - 6x = 0 \\ x(3x - 6) = 0 \\ x = 0 \\ x = 2$

4) Знайдемо точки перетину з Оx і Oy:

З Oy:

$x = 0 \\ y = 0 + 0 + 3 = 3$

5) Будуємо графік, використовуючи точки

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 3, начнем с вычисления ее производной, чтобы найти критические точки, а также определить ее поведение. Затем мы построим график этой функции.

1. Найдем производную f'(x): f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 f'(x) = 3x^2 - 6x

2. Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 2.

3. Теперь определим знаки производной в интервалах между и за пределами критических точек, чтобы понять поведение функции:

• Когда x < 0, f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 (поскольку x^2 всегда положительно, а -6x отрицательно), следовательно, функция возрастает на этом интервале.
• Когда 0 < x < 2, f'(x) = 3x^2 - 6x > 0, поэтому функция также возрастает на этом интервале.
• Когда x > 2, f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 (здесь также функция возрастает).

Таким образом, функция f(x) возрастает на всей числовой прямой, и у нее нет точек экстремума.

4. Теперь построим график функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 3:

Для построения графика используем программу или калькулятор. Ниже приведен общий вид графика:

plaintextCopy code
  ^
  |
  |
  |
  |                 *
  |               *
  |           *
  |       *
  |   *
  +---------------------------------------------------->

График функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 является параболой, которая открывается вверх и не имеет точек экстремума. Он возрастает на всем интервале (-∞, +∞).

Это исследование позволяет нам понять поведение функции и ее производной на числовой прямой, а также предоставляет информацию о том, как она изменяется.