Question

Докажите, что выражение 9⁹⁹+9¹⁰⁰+9¹⁰¹ делится на 91.

Answer 1

Объяснение:

9^99+9^100+9^101=9^99(1+9+9^2)=

=9^99(10+81)=9^99×91

Произведение делится на 91

9^99×91/91=9^99

Answer 2

Для доказательства, что выражение $9^{99} + 9^{100} + 9^{101}$ делится на 91, мы можем использовать малую теорему Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ - простое число, и $a$ - целое число, не кратное $p$, то

$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$

Это означает, что $a^{p-1}$ даёт остаток 1 при делении на $p$.

В нашем случае, $p = 91$, и мы хотим доказать, что $9^{99} + 9^{100} + 9^{101}$ делится на 91. Давайте проверим, что $9^{90} \equiv 1 \mod 91$, и это позволит нам доказать утверждение.

Сначала вычислим $9^{90} \mod 91$:

$9^{90} \mod 91 = (9^{10})^9 \mod 91$

Теперь по малой теореме Ферма с $p = 91$:

$9^{90} \equiv (9^{10})^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \mod 91$

Теперь мы знаем, что $9^{90} \equiv 1 \mod 91$. Следовательно, $9^{99} + 9^{100} + 9^{101} = 9^{90} \cdot 9^9 + 9^{90} \cdot 9^{10} + 9^{90} \cdot 9^{11}$ также делится на 91.

Поэтому выражение $9^{99} + 9^{100} + 9^{101}$ делится на 91.