Question

Найдите частное решение уравнения (x^2-3)dy/dx=4x при y(2)=5

Answer 1

Ответ:

$(x^2-3)\cdot \dfrac{dy}{dx}=4x\ \ ,\ \ \ \ \ y(2)=5\\\\\\\int dy=\int \dfrac{4x\, dx}{x^2-3}\ \ ,\ \ \ \int dy=2\int \dfrac{2x\, dx}{x^2-3}\ \ ,\\\\\\y_{obshee}=2\cdot ln|x^2-3|+C\\\\\\y(2)=5:\ \ 5=2\cdot ln|4-3|+C\ \ ,\ \ 5=2\cdot \underbrace{ln1}_{0}+C\ \ ,\ \ \ C=5\\\\\\\boxed{\ y_{chastn.}=2\cdot ln|x^2-3|+5\ }$

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения первого порядка, нам необходимо выполнить несколько шагов. В данном случае, мы можем начать с начальных условий, чтобы найти конкретное решение уравнения.

У нас дано уравнение:

$(x^2-3)\frac{dy}{dx}=4x$

Мы начнем с разделения переменных, чтобы выразить $y$ и $x$ на разные стороны уравнения:

$\frac{dy}{dx}=\frac{4x}{(x^2-3)}$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int{dy}=\int{\frac{4x}{(x^2-3)}dx}$

Интеграл слева даст нам просто $y$, а интеграл справа может быть решен методом частных дробей или заменой переменных. После интегрирования, мы получим общее решение в неопределенном виде, содержащее постоянную $C$:

$y=C+\frac{2}{\sqrt{3}}\ln{|x-\sqrt{3}|}-\frac{2}{\sqrt{3}}\ln{|x+\sqrt{3}|}$

Теперь мы можем использовать начальное условие $y(2)=5$, чтобы найти значение постоянной $C$:

$5=C+\frac{2}{\sqrt{3}}\ln{|2-\sqrt{3}|}-\frac{2}{\sqrt{3}}\ln{|2+\sqrt{3}|}$

Теперь можно выразить конкретное значение $C$ и подставить его обратно в общее решение.