Question

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна 96, а произведение диагоналей равно 24. Найдите сумму диагоналей параллелограмма.

Answer 1

Ответ: ответ получается 12

Объяснение:

Answer 2

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$. У нас есть следующая информация:

1. Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна 96: $a^2 + b^2 = 96$

2. Произведение диагоналей равно 24: $d_1 \cdot d_2 = 24$

Мы хотим найти сумму диагоналей, то есть $d_1 + d_2$.

Мы можем воспользоваться следующими фактами о параллелограммах:

1. В параллелограмме, диагонали делятся пополам: $d_1 = \frac{1}{2} \cdot d_2$

2. Связь диагоналей и сторон параллелограмма: $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} d_1 \cdot d_2 = 24 \\ d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 = 96 \end{cases}$$

Используя первое уравнение, мы можем выразить $d_1$ через $d_2$:

$d_1 = \frac{24}{d_2}$

Подставляем это во второе уравнение:

$\left(\frac{24}{d_2}\right)^2 + d_2^2 = 96$

Раскрываем квадрат и упрощаем:

$\frac{576}{d_2^2} + d_2^2 = 96$

Умножаем обе части на $d_2^2$ и переносим все члены в одну сторону:

$576 + d_2^4 - 96 \cdot d_2^2 = 0$

Это уравнение четвёртой степени вида $x^4 - 96x^2 + 576 = 0$.

Давайте проведем замену переменной, обозначим $x^2 = y$. Тогда у нас будет квадратное уравнение:

$y^2 - 96y + 576 = 0$

Факторизуем это уравнение:

$(y - 48)^2 = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $y$:

1. $y = 48$ (или $x^2 = 48$)
2. $y = 48$ (снова)

Так как $y$ (или $x^2$) не может быть отрицательным, мы берем только положительный корень $x^2 = 48$, что означает $x = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти $d_2$:

$d_2 = 2x = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

Используя $d_1 = \frac{24}{d_2}$, мы получаем:

$d_1 = \frac{24}{8\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$