Question

Найдите log3(12+5cos(2a)), если tg a = 2.

Answer 1

log3(12+5cos(2a)), если tg a = 2

одз  a ∈ R

cos(2a) = (1 - tg^2(a)/(1 + tg^2(a))

log(3) ( 12 + 5*(1 - 2²)/(1 + 2²)) = log(3) ( 12 - 5*3/5) = log(3) ( 12 - 3) = log(3) 9 = log(3) 3² = 2

Answer 2

Чтобы решить это уравнение, начнем с выражения $tg \ a = 2$. Мы знаем, что $tg \ a = \frac{sin \ a}{cos \ a}$. Подставим $tg \ a = 2$:

$2 = \frac{sin \ a}{cos \ a}$

Теперь у нас есть система уравнений. Мы также имеем выражение $log_3(12+5cos(2a))$. Давайте решим систему уравнений и подставим значение $a$ в выражение:

1. Решим уравнение $2 = \frac{sin \ a}{cos \ a}$ относительно $a$.

$2 \cdot cos \ a = sin \ a$

$cos \ a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$

Теперь, подставим $a$ в выражение $log_3(12+5cos(2a))$:

$log_3\left(12 + 5cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right)\right)\right)$

$log_3\left(12 + 5cos\left(\frac{2\pi}{3} + 4k\pi\right)\right)$

$log_3\left(12 - \frac{5}{2}\right)$

$log_3\left(\frac{19}{2}\right)$

Таким образом, $log_3(12+5cos(2a))$ при $tg \ a = 2$ равен $log_3\left(\frac{19}{2}\right)$.