Question

При яких значеннях параметра а функція f(x)=x^3+ax^2-2ax+3 зростає на всій числовій осі?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$f(x)=x^3+ax^2-2ax+3$

Берем первую производную:

$f'(x)=3x^2+2ax-2a$

Берем вторую производную:

$f''(x)=6x+2a$

Функция гарантировано будет возрастать на всей области определения, если $f'(x)>0$.

Однако возможно, что при $f'(x)=0$ функция не меняет своего поведения, поэтому найдем такие $a$, при которых подобное происходит:

$\left\{\begin{array}{c}3x^2+2ax-2a=0\\6x+2a=0\end{array}\right;$

Решением системы будет $a=0$ и $a=-6$.

Теперь будем разбираться со случаем $f'(x)>0$.

Так как графиком здесь будет парабола, достаточно, чтобы дискриминант $D=4a^2+24a$ был отрицательный.

$4a^2+24a$

Итого при $a\in[-6;\;0]$ функция $f(x)=x^3+ax^2-2ax+3$ возрастает на всей области определения.

Задание выполнено!

Answer 2

Функція зростає на всій числовій осі, якщо її похідна є додатною на всьому діапазоні значень x. Щоб знайти цей діапазон, обчислімо похідну функції f(x):

f(x) = x^3 + ax^2 - 2ax + 3

f'(x) = 3x^2 + 2ax - 2a

Тепер нам потрібно, щоб похідна була додатною для всіх значень x. Для цього:

3x^2 + 2ax - 2a > 0

Ми б хотіли спростити це нерівність:

3x^2 + 2ax - 2a > 0

Тепер ми можемо використовувати метод дослідження знаку для знаходження діапазонів значень x, при яких ця нерівність виконується. Почнемо з визначення знаків коефіцієнтів:

• Коефіцієнт перед x^2 (3) є позитивним.
• Коефіцієнт перед x (2a) залежить від параметра "a". Важливо пам'ятати, що ми шукаємо такі значення "a", які роблять вираз додатнім для всіх x.
• Константа (-2a) також залежить від "a".
• Знаки ми вже врахували в нерівності.

Дослідження знаку коефіцієнта перед x^2 (3) нам не потрібно, оскільки він завжди позитивний.

Знаки коефіцієнтів перед x і константи залежать від "a". Тепер давайте розглянемо можливі випадки:

1. Якщо "a" дорівнює 0 (a = 0), то нерівність спрощується до:

3x^2 - 2a > 0 3x^2 > 0

Ця нерівність виконується для всіх значень x, оскільки квадратична функція завжди додатна.

2. Якщо "a" додатнє (a > 0), то ми маємо:

3x^2 + 2ax - 2a > 0

В цьому випадку, знак перед "a" має вплив на результат. Нерівність буде виконуватися, коли:

3x^2 + 2ax - 2a > 0

3x^2 + 2ax > 2a

x(3x + 2a) > 2a

Ця нерівність виконується, коли:

• x > 0 та 3x + 2a > 0 (тобто x > -2a/3)
• або x < 0 та 3x + 2a < 0 (тобто x < -2a/3)

3. Якщо "a" від'ємне (a < 0), то ми маємо:

3x^2 + 2ax - 2a > 0

Аналогічно, ми спрощуємо нерівність до:

x(3x + 2a) > 2a

Ця нерівність виконується, коли:

• x > 0 та 3x + 2a > 0 (тобто x > -2a/3)
• або x < 0 та 3x + 2a < 0 (тобто x < -2a/3)

Отже, функція f(x) = x^3 + ax^2 - 2ax + 3 зростає на всій числовій осі, коли "a" дорівнює 0 або коли "a" є додатнім або від'ємним числом, тобто:

a = 0 або a > 0 або a < 0.