Question

в трапеции ABCD меньшая диагональ BD равная 8, перпендикулярна основаниям AD=4 и BC=16. Найти сумму острых углов A и C.

Answer 1

Ответ:

Сумма острых углов A и C равна 90°.

Объяснение:

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 8, перпендикулярна основаниям AD=4 и BC=16. Найди сумму острых углов A и C.

Прямоугольные треугольники ABD и DBC подобны по второму признаку: если катеты одного пропорциональны катетам другого.

В нашем случае AD/DB = DB/BC = 1/2.

В подобных треугольниках соответственные углы равны. =>

∠BCD = ∠ABD.

В прямоугольном треугольнике ABD сумма острых углов равна 90°, то есть

∠ВАD + ∠ABD = 90°  =>

∠ВАD + ∠ВСD = 90°.

Ответ: сумма острых углов A и C равна 90°.

Для любителей тригонометрии можно найти тангенсы этих углов:  

tgA = BD/AD = 8/4 = 2

tgC = BD/BC = 8/16 = 1/2.

По формуле tg(α + β) = (tgα+tgβ)/(1-tgα·tgβ) = (2+1/2)/0.

Это значит, что (α + β) = 90°.

Или так:

По Пифагору АВ = √(AD²+BD²) = 4√5.

СD = √(ВС²+BD²) = 8√5.

Sinα = AD/AB = 2√5/5. => Cosβ = 2√5/5

Sinβ = BD/CD = √5/5.  => Cosα = √5/5  

По формуле Sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β) =>

Sin(α + β) = (2√5/5)·(2√5/5) + (√5/5)·(√5/5) = 4/5+1/5 = 1.

Это значит, что (α + β) = 90°.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами трапеции. Одним из таких свойств является то, что сумма углов на одной стороне (например, сумма углов A и B) равна сумме углов на противоположной стороне (C и D), и эта сумма равна 180 градусов.

Сначала найдем угол B. Так как BD - перпендикуляр к основаниям AD и BC, то BD будет биссектрисой угла ABD. Это означает, что угол ABD равен углу BDA, и они оба равны половине угла B.

Угол ABD = угол BDA = 1/2 * угол B

Также у нас есть информация, что AD = 4 и BC = 16. Поскольку BD - это высота трапеции, BD разделит её на два прямоугольных треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD:

AB^2 + BD^2 = AD^2 AB^2 + 8^2 = 4^2 AB^2 + 64 = 16 AB^2 = 16 - 64 AB^2 = -48

Поскольку AB - это длина стороны трапеции, она не может быть отрицательной, поэтому трапеция ABCD не существует. Возможно, у вас есть ошибка в условии задачи.