Question

Найти экстремумы функции y=2x³-3x²-12x+1помогите пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

x=-1 - точка max

х=2 - точка min

Объяснение:

y=2x³-3x²-12x+1

D(y)=R

y`(x)=(2x³-3x²-12x+1)`=6x²-6x-12=6(x²-x-2)=6(x+1)(x-2)

y`(x)=0  при  6(x+1)(x-2)=0

           +                      -                      +                    

___________-1__________2_________

                     max                  min

Точки экстремума:

x=-1 - точка max

х=2 - точка min

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции y = 2x³ - 3x² - 12x + 1, нам нужно найти её производную и решить уравнение f'(x) = 0. Экстремумы функции будут находиться в точках, где производная равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (2x³ - 3x² - 12x + 1)

Используя правила дифференцирования, получим: y' = 6x² - 6x - 12

2. Теперь решим уравнение y' = 0: 6x² - 6x - 12 = 0

Для упрощения этого уравнения, можно разделить все его члены на 6: x² - x - 2 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   Где a = 1, b = -1, и c = -2.

   x = (1 ± √(1 - 4(1)(-2))) / (2(1)) x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 x = (1 ± √9) / 2 x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения x: x₁ = (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2 x₂ = (1 - 3) / 2 = -2/2 = -1

Эти значения x представляют точки, где производная функции равна нулю, и могут быть потенциальными экстремумами.

4. Теперь найдем соответствующие значения y в этих точках: Для x = 2: y(2) = 2(2)³ - 3(2)² - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19 Для x = -1: y(-1) = 2(-1)³ - 3(-1)² - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8

Таким образом, у нас есть две критические точки: (2, -19) и (-1, 8). Это могут быть экстремумы функции. Чтобы определить, являются ли они минимумами или максимумами, нужно проанализировать вторую производную в этих точках (тест на выпуклость).

5. Найдем вторую производную функции y: y'' = d²/dx² (6x² - 6x - 12)

Используя правила дифференцирования, получим: y'' = 12x - 6

Теперь подставим найденные x-значения во вторую производную:

Для x = 2: y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 Для x = -1: y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18

Если вторая производная положительна (y'' > 0), то это указывает на минимум, и если она отрицательна (y'' < 0), то это указывает на максимум. Таким образом, у нас есть:

Для x = 2: y''(2) = 18 (положительно), поэтому (2, -19) - минимум. Для x = -1: y''(-1) = -18 (отрицательно), поэтому (-1, 8) - максимум.

Итак, функция имеет минимум в точке (2, -19) и максимум в точке (-1, 8).